Questões de Matemática do IME

Sejam n e m números naturais. Sabe-se que n vale 5621 na base numérica m e 1208 na base numérica m + 5 . O valor de n é:

Considere os conjuntos X = \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\} e Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}. Quantas funções injetivas f : X \to Y existem, tais que, para dois elementos previamente fixados x_i e x_j \in X, |f(x_i) - f(x_j)| \neq 1?

O polinômio P(x), de grau 3 e coeficientes reais, satisfaz a identidade P(x) - P(x - 1) = x^2 para todo x \in \mathbb{R}, e, além disso, P(0) = 5. O valor de P(10) é:

Sejam m \in \mathbb{Z} e

Sabe-se que i^2 = -1. Seja z = \frac{1 - 2i}{4 - 3i} e, para cada número natural n, S_n = \sum_{k=1}^n (\overline{z})^k, em que \overline{z} representa o conjugado de z. O menor valor de n para o qual vale a desigualdade

Sabe-se que i^2 = -1. Seja S a região do Plano de Argand-Gauss definida por

Seja a equação 9^x - 4 \cdot 5^{x-\frac{1}{2}} = 5^{x+\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2x-1}. O seu conjunto solução contém:

Seja n o número de polinômios de grau 4 que têm coeficientes inteiros, coeficiente do termo de maior grau igual a 1 e cujas raízes também são raízes do polinômio P(x) = x^{12} - 1. O resto da divisão de n por 5 é:

Pedro propõe a Maria o seguinte desafio. Existem dez caixas fechadas, sendo que duas delas contêm uma moeda cada e as demais estão vazias. Pedro sabe onde estão as moedas, mas Maria não. Maria ganha um prêmio se encontrar as duas caixas com as moedas. Maria escolhe duas caixas ao acaso. Dentre as oitos restantes, Pedro escolhe seis que ele sabe que estão vazias, mostra seu conteúdo a Maria, e as remove do desafio. Ele então oferece a Maria três opções: (1) continuar com as duas caixas originalmente escolhidas; (2) trocar uma das caixas por uma das que sobraram; ou (3) trocar as duas caixas pelas duas que sobraram. Seja P(i) a probabilidade de Maria ganhar o prêmio se escolher a opção (i). Temos que P(1) + P(2) + P(3) = a/b, onde a/b é uma fração irredutível. O valor de a + b é:

Seja o polígono formado pelos vértices (x,y) que satisfazem as equações

Considere a equação

Considere a equação

Seja C_1 o círculo inscrito em um quadrado ABCD de lado 2, e seja O o centro de C_1. Considere uma reta L passando pelo vértice A do quadrado. Um círculo variável, de centro M, tangencia externamente o círculo C_1 e também é tangente à reta L, de forma que M e O estejam no mesmo semiplano definido pela reta L. O lugar geométrico do ponto M é:

Em uma esfera de raio R inscreve-se um prisma regular reto de base hexagonal. Sabendo-se que a área lateral desse prisma é máxima, o seu valor em função de R é: