PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 do IME 2027
Seja a equação 9^x - 4 \cdot 5^{x-\frac{1}{2}} = 5^{x+\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2x-1}. O seu conjunto solução contém:
- Anenhum elemento.
- Bum número real positivo e mais nenhum outro elemento.
- Cum número real negativo e mais nenhum outro elemento.
- Dum número real negativo, um número real positivo e mais nenhum outro elemento.
- Edois números reais positivos e mais nenhum outro elemento.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada
A ideia é agrupar, de cada lado, as potências de mesma base, usando a^{m+n}=a^m\cdot a^n.
Primeiro, reescreva os termos:
- 2\cdot 3^{2x-1} = \dfrac{2}{3}\cdot 9^x
- 4\cdot 5^{x-1/2} = \dfrac{4}{\sqrt5}\cdot 5^x
- 5^{x+1/2} = \sqrt5\cdot 5^x
A equação fica:
9^x + \frac{2}{3}\cdot 9^x = \sqrt5\cdot 5^x + \frac{4}{\sqrt5}\cdot 5^x
Somando os termos de cada lado:
- Lado esquerdo: \left(1+\frac23\right)9^x = \frac53\cdot 9^x.
- Lado direito: \sqrt5+\frac{4}{\sqrt5} = \frac{5+4}{\sqrt5} = \frac{9}{\sqrt5}, então fica \frac{9}{\sqrt5}\cdot 5^x.
Assim:
\frac53\cdot 9^x = \frac{9}{\sqrt5}\cdot 5^x \;\Rightarrow\; \left(\frac95\right)^x = \frac{9}{\sqrt5}\cdot\frac35 = \frac{27}{5\sqrt5}=\frac{27}{5^{3/2}} = \left(\frac{9}{5}\right)^{3/2}
Pois \left(\frac95\right)^{3/2}=\frac{27}{5\sqrt5}. Como a base \frac95>1, a função exponencial é injetora, logo x=\frac32.
O conjunto solução tem um único elemento, positivo.
Alternativa B.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AA equação tem solução, x=3/2, então o conjunto não é vazio.
- CA solução encontrada é positiva, não negativa.
- DA exponencial é injetora, então há uma única solução, não duas.
- EHá apenas uma solução real, não duas.
Assuntos: equação exponencial, propriedades de potências.
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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗