PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do IME 2027

Prova objetiva · Matemática

O polinômio P(x), de grau 3 e coeficientes reais, satisfaz a identidade P(x) - P(x - 1) = x^2 para todo x \in \mathbb{R}, e, além disso, P(0) = 5. O valor de P(10) é:

  1. A
    380
  2. B
    385
  3. C
    390
  4. D
    395
  5. E
    400
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Resolução comentada

A identidade P(x)-P(x-1)=x^2 diz que cada valor de P é o anterior mais x^2. Basta somar essas diferenças (soma telescópica) a partir de P(0).

Escrevendo a identidade para x=1,2,\dots,10:

P(1)-P(0)=1^2,\quad P(2)-P(1)=2^2,\ \dots,\ P(10)-P(9)=10^2

Somando todas as igualdades, os termos intermediários se cancelam:

P(10)-P(0)=1^2+2^2+\dots+10^2

A soma dos quadrados dos n primeiros inteiros é \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}. Com n=10:

  1. \dfrac{10\cdot 11\cdot 21}{6}=\dfrac{2310}{6}=385.
  2. P(10)=P(0)+385=5+385=390.

Conferência: o polinômio é P(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x}{6}+5, de grau 3, e P(10)=\dfrac{1000}{3}+50+\dfrac{10}{6}+5=\dfrac{2000+100+10}{6}+5=\dfrac{2310}{6}+5=390. Confere.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem calcula 1^2+\dots+10^2=385 e esquece de somar P(0)=5.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Avalor sem justificativa; não corresponde a 5+385 nem a outro cálculo correto.
  • Bé só a soma dos quadrados, esquecendo de somar P(0)=5.
  • Dsoma P(0) duas vezes ou erra a soma dos quadrados (resultado 390 + 5).
  • Earredondamento sem base; não decorre da soma telescópica.

Assuntos: soma telescópica, polinômios, soma de quadrados.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗