PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 do IME 2027

Prova objetiva · Matemática

Seja o polígono formado pelos vértices (x,y) que satisfazem as equações

y = \frac{2025}{x} \qquad \text{e} \qquad y^2 = -x^2 + 10145

com x e y \in \mathbb{R}^*. Em relação ao polígono é correto afirmar que:

  1. A
    suas duas diagonais passam pela origem.
  2. B
    seus ângulos internos somam 180 graus.
  3. C
    seu círculo circunscrito tem raio inferior a 100.
  4. D
    ele possui um total de 5 diagonais.
  5. E
    ele inexiste, pois há apenas dois pontos (x,y) distintos.
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Resolução comentada

As duas equações dão xy=2025 e x^2+y^2=10145. Com elas, calculamos (x+y)^2 e (x-y)^2.

  1. (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 10145+4050 = 14195, então x+y=\pm\sqrt{14195}.
  2. (x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = 10145-4050 = 6095, então x-y=\pm\sqrt{6095}.

As combinações de sinais dão 4 pontos distintos, pois x-y\neq 0. Se (a,b) é solução, também são (b,a), (-a,-b) e (-b,-a), porque as duas equações são simétricas em x e y e invariantes pela troca (x,y)\to(-x,-y).

Os quatro pontos estão na circunferência x^2+y^2=10145, de centro na origem. Eles formam um retângulo, simétrico em relação à origem e à reta y=x.

As diagonais ligam (a,b) a (-a,-b) e (b,a) a (-b,-a). Cada uma une pontos opostos em relação à origem, então ambas passam por ela. Logo, A é verdadeira.

As demais falham:

  • Um quadrilátero tem ângulos internos somando 360^\circ.
  • O raio é \sqrt{10145}>100, pois 100^2=10000.
  • Um quadrilátero tem 2 diagonais.
  • Existem 4 pontos, não 2.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana porque 10145 está muito próximo de 10000; é preciso notar que o raio é \sqrt{10145}, que supera 100.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BA soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°, não 180°.
  • CO raio é \sqrt{10145}\approx 100{,}7, que é maior que 100.
  • DUm quadrilátero tem apenas 2 diagonais.
  • EO sistema tem 4 soluções reais distintas, não 2.

Assuntos: sistema não linear, circunferência, quadriláteros.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗