Questão 4 do IME 2027

Cada linha tem a forma (t^m, t^{m+2}, t^{m+4}). Colocando t^m em evidência em cada linha, o determinante fica

Esse é um determinante de Vandermonde nas variáveis a=x^2, b=y^2, c=z^2, cujo valor é (b-a)(c-a)(c-b). Então:

Agora o lado direito. Escrevendo cada fator com denominador comum:

• \frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-y^2}{x^2y^2}
• \frac{1}{z^2}-\frac{1}{y^2}=\frac{y^2-z^2}{y^2z^2}
• \frac{1}{x^2}-\frac{1}{z^2}=\frac{z^2-x^2}{x^2z^2}

O produto dos numeradores é (x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2). Cada fator tem o sinal trocado em relação a (y^2-x^2)(z^2-y^2)(x^2-z^2), ou seja, (-1)^3 vezes esse produto. Mas (x^2-z^2)=-(z^2-x^2), então:

(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2) = (-1)(y^2-x^2)\cdot(-1)(z^2-y^2)\cdot(z^2-x^2) = (y^2-x^2)(z^2-y^2)(z^2-x^2).

Os numeradores coincidem com os do lado esquerdo, sem mudança de sinal. O denominador é x^2y^2\cdot y^2z^2\cdot x^2z^2=(xyz)^4, logo o lado direito é

Igualando, (xyz)^m=(xyz)^{-4} para todo x,y,z reais não nulos, portanto m=-4.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AExpoente -6 viria de somar os denominadores de forma errada; o denominador é (xyz)^4, não (xyz)^6.
• CConfunde o expoente de xyz com o expoente de cada variável ao quadrado, chegando a -2.
• DTroca o sinal e usa o expoente do fator comum de uma linha, que não corresponde ao denominador.
• EIgnora que o denominador do lado direito está no denominador, e usa +4 em vez de -4.

Assuntos: determinante de Vandermonde, propriedades de determinantes.