Questão 5 do IME 2027

Question

Sabe-se que i^2 = -1. Seja z = \frac{1 - 2i}{4 - 3i} e, para cada número natural n, S_n = \sum_{k=1}^n (\overline{z})^k, em que \overline{z} representa o conjugado de z. O menor valor de n para o qual vale a desigualdade

\left| S_n - \frac{\overline{z} - |z|^2}{|1 - z|^2} \right| < \frac{1}{2027} \text{ é:}

A
5
B
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C
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D
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E
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Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do IME 2027

Prova objetiva · Matemática

Sabe-se que i^2 = -1. Seja z = \frac{1 - 2i}{4 - 3i} e, para cada número natural n, S_n = \sum_{k=1}^n (\overline{z})^k, em que \overline{z} representa o conjugado de z. O menor valor de n para o qual vale a desigualdade

\left| S_n - \frac{\overline{z} - |z|^2}{|1 - z|^2} \right| < \frac{1}{2027} \text{ é:}

A
5
B
8
C
9
D
10
E
11

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Resolução comentada

Primeiro, racionalize z:

z=\frac{(1-2i)(4+3i)}{25}=\frac{10-5i}{25}=\frac{2-i}{5},\qquad w=\overline z=\frac{2+i}{5}.

Assim |z|^2=\frac{5}{25}=\frac15, e |w|=\frac1{\sqrt5}.

S_n é soma de PG de razão w: S_n=\dfrac{w(1-w^n)}{1-w}.

A fração do enunciado é o limite dessa soma. Como |z|^2=z\overline z=zw e |1-z|^2=(1-z)(1-w):

\frac{w-zw}{(1-z)(1-w)}=\frac{w(1-z)}{(1-z)(1-w)}=\frac{w}{1-w}.

Logo a diferença pedida é

\left|S_n-\frac{w}{1-w}\right|=\left|\frac{w^{n+1}}{1-w}\right|=\frac{5^{-(n+1)/2}}{|1-w|}.

Como 1-w=\frac{3-i}{5}, temos |1-w|=\frac{\sqrt{10}}{5}.

A desigualdade fica:

5^{(n+1)/2}>2027\cdot\frac{5}{\sqrt{10}}=2027\sqrt{2{,}5}\approx 3205.

Testando:

n=9: 5^{5}=3125<3205, não serve.
n=10: 5^{5{,}5}=5^5\sqrt5\approx 6988>3205, serve.

O menor valor é n=10.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana: com n=9 o valor 5^5=3125 fica muito perto de 3205, e esquecer o fator 1/|1-w| levaria a escolher 9.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor muito pequeno; o erro 5^{-(n+1)/2}\cdot 1{,}58 ainda é bem maior que 1/2027.
BCom n=8, 5^{4{,}5}\approx1397, menor que 3205, então não satisfaz.
CCom n=9, 5^5=3125 fica logo abaixo de 3205, então a desigualdade falha por pouco.
ESatisfaz a desigualdade, mas não é o menor valor de n.

Assuntos: números complexos, soma de PG, módulo e conjugado.

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Questão 5 no caderno Prova objetiva do IME 2027

Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗