PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 do IME 2027

Prova objetiva · Matemática

Sabe-se que i^2 = -1. Seja S a região do Plano de Argand-Gauss definida por

S = \{z \in \mathbb{C} \ / \ |z + 1 - i| + |z - 3 - 4i| \le 7\} \ .

Qual a área do retângulo circunscrito à região S que tem um dos lados paralelos à reta que passa pelos pontos 1 - i e -2 + 3i ?

  1. A
    \dfrac{21\sqrt{6}}{2}
  2. B
    12\sqrt{6}
  3. C
    15\sqrt{6}
  4. D
    14\sqrt{6}
  5. E
    \dfrac{35\sqrt{6}}{2}
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Resolução comentada

A condição |z-z_1|+|z-z_2|\le 7 descreve a região interna de uma elipse, com focos em z_1=-1+i, ou seja (-1,1), e z_2=3+4i, ou seja (3,4). A soma das distâncias aos focos é 2a=7.

  1. Semieixo maior: a=\dfrac{7}{2}.
  2. Distância focal: 2c=\sqrt{(3+1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{25}=5, então c=\dfrac52.
  3. Semieixo menor: b^2=a^2-c^2=\dfrac{49}{4}-\dfrac{25}{4}=6, logo b=\sqrt6.

Agora a direção pedida. A reta pelos pontos (1,-1) e (-2,3) tem vetor direção (-3,4). O eixo focal tem direção (4,3). Como (-3,4)\cdot(4,3)=-12+12=0, a reta é perpendicular ao eixo focal, isto é, paralela ao eixo menor.

Assim, o retângulo circunscrito tem lados paralelos aos eixos da elipse e é o retângulo 2a\times 2b:

\text{Área}=2a\cdot 2b=7\cdot 2\sqrt6=14\sqrt6

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com 2a\cdot2b; não corresponde ao retângulo dos eixos da elipse.
  • BNão resulta de 2a\cdot 2b com a=7/2 e b=\sqrt6.
  • CErro no cálculo de a ou b (por exemplo, usar o semieixo errado); não dá 7\cdot2\sqrt6.
  • EValor sem relação com 2a\cdot2b; não corresponde ao retângulo dos eixos da elipse.

Assuntos: elipse no plano complexo, lugar geométrico, retas perpendiculares.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗