PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 do IME 2027

Prova objetiva · Matemática

Pedro propõe a Maria o seguinte desafio. Existem dez caixas fechadas, sendo que duas delas contêm uma moeda cada e as demais estão vazias. Pedro sabe onde estão as moedas, mas Maria não. Maria ganha um prêmio se encontrar as duas caixas com as moedas. Maria escolhe duas caixas ao acaso. Dentre as oitos restantes, Pedro escolhe seis que ele sabe que estão vazias, mostra seu conteúdo a Maria, e as remove do desafio. Ele então oferece a Maria três opções: (1) continuar com as duas caixas originalmente escolhidas; (2) trocar uma das caixas por uma das que sobraram; ou (3) trocar as duas caixas pelas duas que sobraram. Seja P(i) a probabilidade de Maria ganhar o prêmio se escolher a opção (i). Temos que P(1) + P(2) + P(3) = a/b, onde a/b é uma fração irredutível. O valor de a + b é:

  1. A
    3
  2. B
    26
  3. C
    54
  4. D
    76
  5. E
    78
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Resolução comentada

Maria escolhe 2 das 10 caixas: há \binom{10}{2}=45 pares possíveis. Depois Pedro abre 6 caixas vazias entre as 8 restantes, e sempre consegue, pois essas 8 têm no máximo 2 moedas. Sobram 2 caixas fechadas fora do par de Maria. Separe em casos pelo número de moedas no par inicial.

  1. Opção (1): Maria ganha se o par inicial já tem as duas moedas, ou seja, P(1)=\dfrac{1}{45}.

  2. Opção (3): Maria ganha se as duas moedas estão fora do par inicial. Isso ocorre com probabilidade \dfrac{\binom{8}{2}}{45}=\dfrac{28}{45}. Nesse caso Pedro não pode abrir nenhuma moeda, então as duas caixas que sobram são justamente as das moedas. Logo P(3)=\dfrac{28}{45}.

  3. Opção (2): Maria só ganha se o par inicial tiver exatamente 1 moeda, o que ocorre com probabilidade \dfrac{2\cdot 8}{45}=\dfrac{16}{45}. Nesse caso, entre as 2 caixas que sobram, uma tem a moeda e a outra está vazia, porque Pedro deixa a moeda sem abrir. Maria precisa trocar a caixa vazia do seu par, com chance \dfrac12, e levar a caixa da moeda entre as que sobraram, com chance \dfrac12. Ela não tem informação para escolher, então a chance de acerto nesse caso é \dfrac14. Assim P(2)=\dfrac{16}{45}\cdot\dfrac14=\dfrac{4}{45}.

Soma:

P(1)+P(2)+P(3)=\frac{1+4+28}{45}=\frac{33}{45}=\frac{11}{15}.

Assim a+b=11+15=26.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a fração; não corresponde a a+b de 11/15.
  • CResultado de contas erradas nas probabilidades de trocar, sem chegar a 11/15.
  • DNão corresponde à soma correta das três probabilidades.
  • ENão corresponde à soma correta das três probabilidades.

Assuntos: probabilidade condicional, análise combinatória.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗