PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 do IME 2027

Prova objetiva · Matemática

Sejam n e m números naturais. Sabe-se que n vale 5621 na base numérica m e 1208 na base numérica m + 5 . O valor de n é:

  1. A
    2020
  2. B
    2022
  3. C
    2024
  4. D
    2026
  5. E
    2028
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Resolução comentada

Para escrever n na base decimal, basta multiplicar cada algarismo pela potência da base correspondente.

Na base m, n = 5621_m = 5m^3+6m^2+2m+1. Como aparece o algarismo 6, precisamos de m\ge 7.

Na base m+5, n = 1208_{m+5} = (m+5)^3+2(m+5)^2+0\cdot(m+5)+8.

Desenvolvendo:

  1. (m+5)^3 = m^3+15m^2+75m+125
  2. 2(m+5)^2 = 2m^2+20m+50
  3. Somando com o 8: m^3+17m^2+95m+183

Igualando as duas expressões de n:

5m^3+6m^2+2m+1 = m^3+17m^2+95m+183
4m^3-11m^2-93m-182=0

Testando m=7 (o menor valor permitido): 4\cdot343-11\cdot49-93\cdot7-182 = 1372-539-651-182 = 0. Então m=7 serve.

Calculando n com m=7:

n = 5\cdot343+6\cdot49+2\cdot7+1 = 1715+294+14+1 = 2024

Conferindo na base 12: 12^3+2\cdot12^2+8 = 1728+288+8 = 2024. Os dois valores coincidem.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor que não coincide com a conversão nas duas bases; resulta de erro de conta.
  • BNão é o valor obtido com m=7; vem de erro na conversão.
  • DNão satisfaz a igualdade entre as duas representações.
  • ENão satisfaz a igualdade entre as duas representações.

Assuntos: mudança de base, equação polinomial.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗