Questão 13 do IME 2027

Para \log_b a = 1 valer, é preciso a=b, com a>0, b>0 e b\neq 1.

Aqui, a=0{,}5\,\sen(4x) e b=0{,}5\cos(4x)+0{,}5.

1. Igualando: 0{,}5\,\sen(4x)=0{,}5\cos(4x)+0{,}5, ou seja, \sen\theta-\cos\theta=1, com \theta=4x.
2. Escrevendo \sen\theta-\cos\theta=\sqrt2\,\sen(\theta-\pi/4), temos \sen(\theta-\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}.
3. Então \theta-\pi/4=\pi/4+2k\pi ou \theta-\pi/4=3\pi/4+2k\pi. Logo \theta=\pi/2+2k\pi ou \theta=\pi+2k\pi.
4. Condição do logaritmando: a>0 exige \sen\theta>0. Para \theta=\pi+2k\pi, \sen\theta=0, então essa família é descartada. Para \theta=\pi/2+2k\pi, \sen\theta=1>0, e vale.
5. Condição da base: com \cos\theta=0, b=0{,}5, que é positivo e diferente de 1. Está correto.
6. Assim, 4x=\pi/2+2k\pi, isto é, x=\pi/8+k\pi/2.
7. Em [0,\pi]: k=0 dá x=\pi/8; k=1 dá x=5\pi/8; k=2 dá 9\pi/8>\pi, fora do intervalo.

Há 2 valores de x.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem resolve só \sen\theta-\cos\theta=1 e esquece que o logaritmando 0{,}5\sen(4x) precisa ser positivo, mantendo as raízes com \theta=\pi+2k\pi.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AAcha que as condições de existência eliminam todas as soluções, mas x=\pi/8 e x=5\pi/8 são válidos.
• CConta valores a mais, sem descartar os que anulam o logaritmando.
• DConta também as soluções com \theta=\pi+2k\pi, que dão \sen(4x)=0 e são inválidas.
• EConta todas as soluções de \sen\theta-\cos\theta=1 sem aplicar as condições de existência do logaritmo.

Assuntos: equação logarítmica, equação trigonométrica, condição de existência.

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