Questão 14 do IME 2027

Question

Seja C_1 o círculo inscrito em um quadrado ABCD de lado 2, e seja O o centro de C_1. Considere uma reta L passando pelo vértice A do quadrado. Um círculo variável, de centro M, tangencia externamente o círculo C_1 e também é tangente à reta L, de forma que M e O estejam no mesmo semiplano definido pela reta L. O lugar geométrico do ponto M é:

A
uma elipse de focos em A e O.
B
um ramo de hipérbole de centro em O.
C
uma parábola com foco em O.
D
uma circunferência concêntrica a C_1.
E
duas retas paralelas à reta L.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 do IME 2027

Prova objetiva · Matemática

Seja C_1 o círculo inscrito em um quadrado ABCD de lado 2, e seja O o centro de C_1. Considere uma reta L passando pelo vértice A do quadrado. Um círculo variável, de centro M, tangencia externamente o círculo C_1 e também é tangente à reta L, de forma que M e O estejam no mesmo semiplano definido pela reta L. O lugar geométrico do ponto M é:

A
uma elipse de focos em A e O.
B
um ramo de hipérbole de centro em O.
C
uma parábola com foco em O.
D
uma circunferência concêntrica a C_1.
E
duas retas paralelas à reta L.

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Resolução comentada

Seja r o raio do círculo variável e R=1 o raio de C_1 (inscrito no quadrado de lado 2, centro O).

Como os círculos são tangentes externamente, a distância entre os centros é a soma dos raios:

MO = 1 + r

Como o círculo variável é tangente à reta L e M está no mesmo semiplano que O, o raio é a distância de M à reta L:

r = d(M, L)

Substituindo:

MO = 1 + d(M,L)

Ou seja, MO = d(M, L'), onde L' é a reta paralela a L, do lado oposto ao de O, a distância 1 de L (afastada de O).

A reta L passa por A, que dista \sqrt{2} de O, e O está do mesmo lado de M. Para L tangente ao círculo, ou em qualquer posição, a reta L' está a distância d(O,L)+1 de O, que é positiva e diferente de zero, então O não pertence a L'.

A condição MO = d(M, L') é a definição de parábola: lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto fixo (foco O) e de uma reta fixa (diretriz L'), com O\notin L'.

Assim, o lugar geométrico de M é uma parábola com foco em O (o ponto A só fixa a reta L, sem ser foco).

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AElipse exigiria soma constante das distâncias a dois focos; aqui há igualdade entre distância a um ponto e a uma reta.
BHipérbole exigiria diferença constante de distâncias a dois pontos, o que não ocorre.
DCircunferência concêntrica exigiria MO constante, mas MO = 1 + r varia com r.
EDuas retas paralelas a L fariam d(M,L) constante, mas o raio r é variável.

Assuntos: lugares geométricos, parábola, tangência de circunferências.

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Questão 14 no caderno Prova objetiva do IME 2027

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