PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 do IME 2027

Prova objetiva · Matemática

Em uma esfera de raio R inscreve-se um prisma regular reto de base hexagonal. Sabendo-se que a área lateral desse prisma é máxima, o seu valor em função de R é:

  1. A
    \sqrt{6}R^2
  2. B
    3R^2
  3. C
    6R^2
  4. D
    2\sqrt{6}R^2
  5. E
    12R^2
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Resolução comentada

Seja a o lado do hexágono regular da base e h a altura do prisma. A área lateral é formada por 6 retângulos a \times h:

A_L = 6ah

Se o prisma está inscrito na esfera, o centro da esfera é o ponto médio do eixo do prisma. O raio da esfera liga esse centro a um vértice, formando um triângulo retângulo com catetos \frac{h}{2} e o raio da circunferência circunscrita à base. No hexágono regular, esse raio é igual ao lado a. Então:

R^2 = a^2 + \frac{h^2}{4}

Precisamos maximizar ah com essa restrição. Pela desigualdade entre as médias (AM-GM), aplicada a a^2 e \frac{h^2}{4}:

a^2 + \frac{h^2}{4} \ge 2\cdot a\cdot\frac{h}{2} = ah

Logo ah \le R^2, com igualdade quando a = \frac{h}{2}, ou seja, h = 2a. Nesse caso R^2 = 2a^2, o que é possível.

O valor máximo é ah = R^2, e então:

A_L = 6ah = 6R^2

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o máximo de 6ah; vem de um erro na relação entre a, h e R.
  • BResulta de usar ah máximo igual a R^2/2, esquecendo que a igualdade das médias dá ah=R^2.
  • DAparece ao confundir o raio da base com a apótema do hexágono (com \sqrt{3}), distorcendo a relação.
  • EDobra o resultado correto, ao usar h em vez de h/2 no triângulo retângulo com o raio R.

Assuntos: prisma inscrito na esfera, otimização com desigualdade das médias, hexágono regular.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗