PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 do IME 2027

Prova objetiva · Matemática

Considere os conjuntos X = \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\} e Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}. Quantas funções injetivas f : X \to Y existem, tais que, para dois elementos previamente fixados x_i e x_j \in X, |f(x_i) - f(x_j)| \neq 1?

  1. A
    4800
  2. B
    5040
  3. C
    5880
  4. D
    6480
  5. E
    6720
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Resolução comentada

Uma função injetiva de X em Y associa a cada um dos 5 elementos de X um valor distinto de Y. Vamos contar todas e subtrair as que quebram a condição.

  1. Total de injetivas: A_{8,5} = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4 = 6720.

  2. Funções "ruins": aquelas em que |f(x_i)-f(x_j)|=1, isto é, f(x_i) e f(x_j) são números consecutivos de Y.

  3. Pares ordenados (f(x_i), f(x_j)) consecutivos: os pares não ordenados consecutivos em Y são \{1,2\},\{2,3\},\dots,\{7,8\}, ou seja, 7 pares. Como x_i e x_j são distintos e fixados, cada par pode ser atribuído de 2 modos (qual valor vai para x_i). Logo, 7\cdot 2 = 14 possibilidades.

  4. Os 3 elementos restantes de X recebem valores distintos entre os 6 números que sobraram: 6\cdot5\cdot4 = 120.

  5. Funções ruins: 14\cdot120 = 1680.

  6. Funções que atendem à condição: 6720 - 1680 = 5040.

Conferindo por outro caminho: pares ordenados (f(x_i),f(x_j)) distintos: 8\cdot7=56; os não consecutivos são 56-14=42; então 42\cdot120=5040. ✓.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem conta só 7 pares consecutivos e esquece que cada par pode ser atribuído a x_i e x_j de 2 maneiras; a E é o total sem restrição.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubtrai quantidade a mais de casos ruins, sem correspondência com a contagem correta (7·2·120 = 1680).
  • CSubtrai apenas 840, esquecendo o fator 2 (ordem dos valores de x_i e x_j).
  • DNão corresponde a nenhuma contagem correta; subtrai só 240 do total.
  • EÉ o total de injetivas, sem descontar as que violam a condição.

Assuntos: análise combinatória, funções injetivas, arranjos.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗