PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 do IME 2027

Prova objetiva · Matemática

Considere a equação

|\sen(x) - \cos(x)| + \sqrt{2 + \tg^2(x) + \operatorname{cotg}^2(x)} = \sqrt{3},

com x \in (0, 6\pi) e x \notin \left\{ \frac{m\pi}{2} \,/\, m \in \mathbb{Z} \right\}. O número de soluções dessa equação é:

  1. A
    0
  2. B
    2
  3. C
    4
  4. D
    6
  5. E
    8
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Resolução comentada

Primeiro, simplifique a raiz. Como \tg^2 x + \operatorname{cotg}^2 x + 2 = (\tg x + \operatorname{cotg} x)^2, temos

\sqrt{2+\tg^2 x+\operatorname{cotg}^2 x} = |\tg x + \operatorname{cotg} x|.

Mas \tg x + \operatorname{cotg} x = \dfrac{\sen^2 x + \cos^2 x}{\sen x \cos x} = \dfrac{1}{\sen x\cos x} = \dfrac{2}{\sen 2x}.

Portanto esse termo vale \dfrac{2}{|\sen 2x|}, que é sempre \ge 2, pois |\sen 2x|\le 1.

Agora o outro termo: |\sen x - \cos x| \ge 0.

O lado esquerdo é então a soma de algo \ge 0 com algo \ge 2, ou seja, é pelo menos 2.

Como \sqrt{3} \approx 1{,}73 < 2, a igualdade é impossível:

|\sen x - \cos x| + \frac{2}{|\sen 2x|} \ge 2 > \sqrt{3}.

A equação não tem solução em nenhum intervalo, em particular em (0,6\pi).

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BSupõe uma solução por período, mas o lado esquerdo nunca fica abaixo de 2, que é maior que \sqrt{3}.
  • CConta soluções que não existem, pois o lado esquerdo é sempre maior ou igual a 2.
  • DConta soluções por período sem notar que o lado esquerdo é sempre maior ou igual a 2.
  • EConta soluções por simetria sem verificar o valor mínimo do lado esquerdo.

Assuntos: identidades trigonométricas, equação trigonométrica, desigualdades.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗