Questão 9 do IME 2027

Se um polinômio mônico de coeficientes inteiros tem todas as raízes entre as raízes de x^{12}-1, cada fator irredutível dele é um polinômio ciclotômico \Phi_d com d \mid 12. Isso vale porque o polinômio mínimo de uma raiz d-ésima primitiva da unidade é \Phi_d. As raízes podem se repetir.

Os divisores de 12 e os graus \varphi(d) são:

• d=1 e d=2: grau 1 cada (x-1 e x+1);
• d=3, d=4 e d=6: grau 2 cada;
• d=12: grau 4.

Basta contar os produtos (com repetição) desses fatores que dão grau total 4.

1. Só \Phi_{12}: 1 polinômio.
2. Sem \Phi_{12}, seja k o número de fatores de grau 2 (escolhidos entre 3 tipos, com repetição). Os fatores de grau 1 (entre 2 tipos, com repetição) completam o grau 4. Com m fatores de grau 1, há m+1 escolhas.
   • k=0: m=4, então 5 polinômios.
   • k=1: 3 escolhas do fator de grau 2 e m=2 (3 escolhas), então 3\cdot 3=9.
   • k=2: \binom{4}{2}=6 escolhas dos fatores de grau 2 e m=0, então 6.

Total: n = 1+5+9+6 = 21.

Como 21 = 4\cdot 5 + 1, o resto da divisão por 5 é 1.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem exige raízes distintas e conta só 7 polinômios, esquecendo que as raízes podem se repetir.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a nenhuma contagem correta; o total é 21, que não é múltiplo de 5.
• CVem de contar só polinômios com raízes distintas (7 polinômios), ignorando raízes repetidas.
• DResulta de erro na contagem das combinações com repetição dos fatores de grau 2 ou de grau 1.
• EResulta de esquecer algum caso, como o de \Phi_{12} sozinho, ou de contar errado os produtos.

Assuntos: polinômios ciclotômicos, raízes da unidade, contagem com repetição.

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