Questões de Matemática do ITA

Sabe-se que a área de uma elipse é proporcional ao produto das medidas de seus eixos maior e menor. Considere duas elipses, E_1 e E_2, ambas com os mesmos focos. Sabe-se que a excentricidade de E_1 é duas vezes a de E_2 e que a área de E_2 é seis vezes a de E_1. O valor da excentricidade de E_1 é

De um ponto E pertencente ao lado AB de um quadrado ABCD de lado medindo 10, é traçada uma reta r, paralela à diagonal AC, que intercepta o lado BC no ponto F. Se a distância entre a reta r e a diagonal AC é 5, então o raio da circunferência C_1 inscrita no triângulo BEF é

Seja ABC um triângulo no plano cartesiano com vértices A = (0, 0), B = (2, 4) e C, o qual pertence à circunferência de raio 2 e centro (4, 0). A maior área possível para o triângulo ABC é

Considere as afirmações abaixo:

Três jogadores disputam um jogo, arremessando moedas. O jogador A arremessa uma moeda repetidas vezes até que obtenha cara, recebendo um ponto por lançamento. O jogador B joga três moedas e recebe um ponto por cada coroa. O jogador C joga uma moeda e recebe três pontos se obtiver coroa e zero caso contrário. Considere as seguintes afirmações:

Sejam m, n \in \mathbb{N}, z = \left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i\right)^m e w = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}i\right)^n. Sabendo que |z| = \frac{}{256} e |w| = 16, então um argumento de zw é igual a

Determine todos os números x \in \mathbb{R} que satisfazem a equação

Seja f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função. Considere as seguintes afirmações:

Para todo subconjunto S \subset \{n \in \mathbb{N} : 1 \le n \le 60\} com 9 elementos, considere as seguintes afirmações:

Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais tal que p(1+i) = 0 e p(1) = -1. Sabendo que p(p(x)) - p(x^3) é um polinômio de grau 8, o valor de p(-1) é

Um tetraedro possui quatro arestas de tamanho \sqrt{3} e duas arestas opostas de tamanho 2. O volume desse tetraedro é

Considere um polinômio dado por p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 21, em que a, b e c são números reais. Sabe-se que p(x) possui quatro raízes inteiras e que, para todo inteiro n que não seja múltiplo de 5, o valor de p(n) é múltiplo de 5. Determine o valor de a^2 + b^2 + c^2.