PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 do ITA 2027

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes quadradas de ordem n e entradas reais.
M_{m,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais.
I_n : denota a matriz identidade de ordem n.
A^t : denota a matriz transposta da matriz A.

Determine todos os números x \in \mathbb{R} que satisfazem a equação

\frac{\sen^2(x)}{1 - \cos(x)} \cdot \tg\left(\frac{x}{2}\right) = 1 - \sen(x) - \cos(x).
  1. A
    x = 2\operatorname{arctg}(2) + k\pi, k \in \mathbb{Z}.
  2. B
    x = 2\operatorname{arctg}(2) + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.
  3. C
    x = 2\operatorname{arctg}(3) + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.
  4. D
    x = 2\operatorname{arctg}(4) + k\pi, k \in \mathbb{Z}.
  5. E
    x = 2\operatorname{arctg}(4) + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.
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Resolução comentada

Condições de existência: 1-\cos x\neq 0 (ou seja, x\neq 2k\pi) e \tg(x/2) definida (ou seja, x\neq \pi+2k\pi).

Simplifique o lado esquerdo. Como \sen^2 x = 1-\cos^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x), temos

\frac{\sen^2 x}{1-\cos x}=1+\cos x.

A equação fica

(1+\cos x)\,\tg\left(\frac{x}{2}\right)=1-\sen x-\cos x.

Use t=\tg(x/2). Então \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \sen x=\dfrac{2t}{1+t^2} e 1+\cos x=\dfrac{2}{1+t^2}.

Substituindo:

  1. Lado esquerdo: \dfrac{2t}{1+t^2}.
  2. Lado direito: \dfrac{(1+t^2)-2t-(1-t^2)}{1+t^2}=\dfrac{2t^2-2t}{1+t^2}.

Igualando os numeradores: 2t=2t^2-2t, logo 2t^2-4t=0, ou seja, t=0 ou t=2.

  • t=0 dá x=2k\pi, que é excluído pela condição de existência (1-\cos x=0).
  • t=2 dá x/2=\operatorname{arctg}(2)+k\pi, então x=2\operatorname{arctg}(2)+2k\pi.

Esse valor não viola nenhuma condição de existência. Conferindo: \cos x=\frac{1-4}{5}=-\frac35 e \sen x=\frac45. O lado esquerdo vale (1-\frac35)\cdot 2=\frac45. O lado direito vale 1-\frac45+\frac35=\frac45. Confere.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana ao usar período k\pi para x, esquecendo que x/2 tem período \pi, o que dá 2k\pi em x.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa período \pi para x; mas t=\tg(x/2) tem período \pi em x/2, logo 2\pi em x.
  • CUsa t=3, que não é raiz de t^2-2t=0.
  • DUsa t=4 e período \pi, ambos errados.
  • EUsa t=4, que não é raiz de t^2-2t=0.

Assuntos: equações trigonométricas, arco metade, identidades trigonométricas.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗