PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 do ITA 2027

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes quadradas de ordem n e entradas reais.
M_{m,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais.
I_n : denota a matriz identidade de ordem n.
A^t : denota a matriz transposta da matriz A.

Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais tal que p(1+i) = 0 e p(1) = -1. Sabendo que p(p(x)) - p(x^3) é um polinômio de grau 8, o valor de p(-1) é

  1. A
    -50.
  2. B
    -5.
  3. C
    -1.
  4. D
    -3.
  5. E
    -15.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Como p tem coeficientes reais e p(1+i)=0, também p(1-i)=0. Logo p(x) é divisível por (x-1-i)(x-1+i)=x^2-2x+2, ou seja, p(x)=(x^2-2x+2)\,q(x).

Do grau: seja n=\text{gr}\,p e a o coeficiente líder. Então p(p(x)) tem grau n^2 e p(x^3) tem grau 3n.

Se n^2\neq 3n, o grau da diferença é \max(n^2,3n). Para ser 8: n^2=8 (não serve) ou 3n=8 (não serve). Logo n^2=3n, ou seja, n=3 (pois n\ge 2), e o grau 8 surge de um cancelamento do termo de grau 9.

Com n=3, q(x)=ax+b e p(x)=(x^2-2x+2)(ax+b).

  1. Condição p(1)=-1: (1-2+2)(a+b)=a+b=-1.
  2. Termo de grau 9: em p(p(x)) é a\cdot a^3=a^4; em p(x^3) é a. Cancelamento: a^4=a, então a=1 (real, não nulo).
  3. Então b=-2 e p(x)=(x^2-2x+2)(x-2)=x^3-4x^2+6x-4.

O grau 8 exige que o termo de grau 8 não cancele. Em p(p(x))=p^3-4p^2+6p-4, o termo x^8 vem de p^3: 3\cdot(-4)=-12. Em p(x^3) não há x^8 (só potências múltiplas de 3). Então o coeficiente é -12\neq0, e o grau é 8, como pedido.

Cálculo final:

p(-1)=(1+2+2)(-1-2)=5\cdot(-3)=-15

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem avalia apenas o fator linear x-2 em x=-1, esquecendo o fator x^2-2x+2=5.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o polinômio obtido; resulta de erro de conta ou de grau errado.
  • BCalcula só o fator x^2-2x+2=5 (ou ignora o sinal) sem multiplicar por (x-2) corretamente.
  • CConfunde p(-1) com p(1)=-1.
  • DUsa só o fator x-2=-3 em x=-1 e esquece o fator quadrático.

Assuntos: polinômios, raízes complexas conjugadas, grau de polinômio.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗