PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 do ITA 2027

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes quadradas de ordem n e entradas reais.
M_{m,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais.
I_n : denota a matriz identidade de ordem n.
A^t : denota a matriz transposta da matriz A.

Sabe-se que a área de uma elipse é proporcional ao produto das medidas de seus eixos maior e menor. Considere duas elipses, E_1 e E_2, ambas com os mesmos focos. Sabe-se que a excentricidade de E_1 é duas vezes a de E_2 e que a área de E_2 é seis vezes a de E_1. O valor da excentricidade de E_1 é

  1. A
    \frac{\sqrt{10}}{16}.
  2. B
    \frac{\sqrt{5}}{8}.
  3. C
    \frac{\sqrt{10}}{8}.
  4. D
    \frac{\sqrt{5}}{4}.
  5. E
    \frac{\sqrt{10}}{4}.
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Resolução comentada

Numa elipse, a é o semieixo maior, b o menor e c a semidistância focal, com a^2=b^2+c^2. A excentricidade é e=c/a e a área é proporcional a ab.

As duas elipses têm os mesmos focos, então c é o mesmo para ambas.

  1. Excentricidades: e_1=2e_2, ou seja, \frac{c}{a_1}=2\cdot\frac{c}{a_2}, o que dá a_2=2a_1.

  2. Áreas: a_2b_2=6\,a_1b_1. Substituindo a_2=2a_1, temos 2a_1b_2=6a_1b_1, logo b_2=3b_1.

  3. Como c é o mesmo: a_1^2-b_1^2=a_2^2-b_2^2.

Substituindo: a_1^2-b_1^2=4a_1^2-9b_1^2, então 8b_1^2=3a_1^2 e b_1^2=\frac{3}{8}a_1^2.

  1. Excentricidade de E_1:
e_1^2=\frac{c^2}{a_1^2}=\frac{a_1^2-b_1^2}{a_1^2}=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}
e_1=\sqrt{\frac{5}{8}}=\frac{\sqrt{10}}{4}

Verificação: e_2=e_1/2=\frac{\sqrt{10}}{8}<1, coerente.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C é a excentricidade de E_2 (e_1/2), que engana quem para no meio do raciocínio.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor pequeno demais, sem fundamento na relação e_1^2=5/8.
  • BErra ao simplificar a raiz de 5/8 (tomando \sqrt5/8).
  • CÉ a excentricidade de E_2, não de E_1.
  • DRacionaliza incorretamente \sqrt{5/8}, perdendo o fator \sqrt2.

Assuntos: elipse, excentricidade, geometria analítica.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗