PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 do ITA 2027

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes quadradas de ordem n e entradas reais.
M_{m,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais.
I_n : denota a matriz identidade de ordem n.
A^t : denota a matriz transposta da matriz A.

Sejam m, n \in \mathbb{N}, z = \left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i\right)^m e w = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}i\right)^n. Sabendo que |z| = \frac{}{256} e |w| = 16, então um argumento de zw é igual a

  1. A
    \frac{\pi}{6}.
  2. B
    \frac{\pi}{3}.
  3. C
    \frac{2\pi}{3}.
  4. D
    \frac{7\pi}{6}.
  5. E
    \frac{4\pi}{3}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O enunciado traz |z|=\frac{}{256}, com o numerador faltando. Assumo que seja |z|=\frac{1}{256}, que é o valor que o resto do problema sugere. Vamos conferir essa hipótese.

Para usar a forma polar, calcule o módulo e o argumento de cada base.

Base de z: \frac{3}{4}+\frac{\sqrt3}{4}i.

Módulo: \sqrt{\frac{9}{16}+\frac{3}{16}}=\sqrt{\frac{12}{16}}=\frac{\sqrt3}{2}.

Argumento \theta: \tg\theta=\frac{\sqrt3/4}{3/4}=\frac{\sqrt3}{3}, com o ponto no 1º quadrante, logo \theta=\frac{\pi}{6}.

Base de w: -\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt6}{2}i.

Módulo: \sqrt{\frac{2}{4}+\frac{6}{4}}=\sqrt2.

Argumento: \tg\varphi=-\sqrt3, com o ponto no 2º quadrante, logo \varphi=\frac{2\pi}{3}.

Descobrindo m e n:

  1. |z|=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^m=\frac{1}{256}. Isso não dá potência inteira de \frac{\sqrt3}{2}, pois \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^m=\frac{(\sqrt3)^m}{2^m} e o numerador teria fator 3. Então o numerador original deve ser 3^k. Com m=8: \frac{81}{256}. Logo |z|=\frac{81}{256} e m=8.
  2. |w|=(\sqrt2)^n=16=2^4, então n=8.

Argumento de zw:

\arg(z)=8\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{3} e \arg(w)=8\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{16\pi}{3}.

Somando os dois: \frac{4\pi}{3}+\frac{16\pi}{3}=\frac{20\pi}{3}.

Reduzindo à primeira volta: \frac{20\pi}{3}-6\pi=\frac{2\pi}{3}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa só o argumento de uma das bases, sem multiplicar pelos expoentes e somar.
  • BErro na redução do argumento total à primeira volta.
  • DTroca o quadrante de w ao calcular o argumento da base.
  • EÉ apenas o argumento de z (8\pi/6), esquecendo de somar o de w.

Assuntos: números complexos, forma polar, argumento.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗