PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do ITA 2027

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes quadradas de ordem n e entradas reais.
M_{m,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais.
I_n : denota a matriz identidade de ordem n.
A^t : denota a matriz transposta da matriz A.

Três jogadores disputam um jogo, arremessando moedas. O jogador A arremessa uma moeda repetidas vezes até que obtenha cara, recebendo um ponto por lançamento. O jogador B joga três moedas e recebe um ponto por cada coroa. O jogador C joga uma moeda e recebe três pontos se obtiver coroa e zero caso contrário. Considere as seguintes afirmações:

I. A probabilidade de A fazer mais pontos que B é maior que 50\%.

II. A probabilidade de empate entre A e B é maior que 25\%.

III. A probabilidade de B fazer mais pontos que C é maior que 50\%.

É (São) VERDADEIRA(S):

  1. A
    Nenhuma.
  2. B
    Apenas I.
  3. C
    Apenas II.
  4. D
    Apenas I e II.
  5. E
    Apenas I e III.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A: lança até sair cara, ganhando 1 ponto por lançamento (contando o da cara). Então P(A=k)=\left(\tfrac12\right)^k, com k=1,2,3,\ldots

B: número de coroas em 3 moedas, binomial: P(B=0)=\tfrac18, P(B=1)=\tfrac38, P(B=2)=\tfrac38, P(B=3)=\tfrac18.

C: P(C=3)=\tfrac12 e P(C=0)=\tfrac12.

Afirmação I. Calculamos P(A>B)=\sum_b P(B=b)\,P(A>b), com P(A>b)=\left(\tfrac12\right)^b (os b primeiros lançamentos são coroa).

P(A>B)=\tfrac18\cdot1+\tfrac38\cdot\tfrac12+\tfrac38\cdot\tfrac14+\tfrac18\cdot\tfrac18=\tfrac{8+12+6+1}{64}=\tfrac{27}{64}\approx 42{,}2\%

Portanto I é falsa.

Afirmação II. P(A=B)=\sum_b P(B=b)P(A=b), com b\ge1:

\tfrac38\cdot\tfrac12+\tfrac38\cdot\tfrac14+\tfrac18\cdot\tfrac18=\tfrac{24+12+2}{128}\cdot\tfrac{?}{}

Em denominador 64: \tfrac{3}{16}+\tfrac{3}{32}+\tfrac{1}{64}=\tfrac{12+6+1}{64}=\tfrac{19}{64}\approx29{,}7\%. Isso é maior que 25\%, então II é verdadeira.

Afirmação III. B>C ocorre se C=0 e B\ge1, ou se C=3 e B>3 (impossível).

P(B>C)=\tfrac12\cdot\tfrac78=\tfrac7{16}=43{,}75\%

Portanto III é falsa.

Apenas II é verdadeira.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que a probabilidade de empate é 19/64 ≈ 29,7%, maior que 25%.
  • BI é falsa: P(A>B) = 27/64 ≈ 42%, menor que 50%.
  • DInclui I, mas P(A>B) = 27/64 < 50%.
  • EI e III são falsas: 27/64 e 7/16 são ambos menores que 50%.

Assuntos: probabilidade, distribuição binomial, distribuição geométrica.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗