PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 do ITA 2027

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes quadradas de ordem n e entradas reais.
M_{m,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais.
I_n : denota a matriz identidade de ordem n.
A^t : denota a matriz transposta da matriz A.

Considere um polinômio dado por p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 21, em que a, b e c são números reais. Sabe-se que p(x) possui quatro raízes inteiras e que, para todo inteiro n que não seja múltiplo de 5, o valor de p(n) é múltiplo de 5. Determine o valor de a^2 + b^2 + c^2.

  1. A
    375.
  2. B
    600.
  3. C
    1368.
  4. D
    1624.
  5. E
    2025.
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Resolução comentada

Se p(n) é múltiplo de 5 para n=1,2,3,4, então, módulo 5, o polinômio p tem as raízes 1,2,3,4. Como p é mônico de grau 4, vale p(x)\equiv(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\equiv x^4-1 \pmod 5.

Como a, b, c são inteiros (soma e produtos de raízes inteiras), comparar os coeficientes dá a\equiv b\equiv c\equiv 0 \pmod 5. O termo constante, -21\equiv-1, é consistente.

As raízes r_1,r_2,r_3,r_4 são inteiras com produto -21. Os fatores possíveis são \pm1,\pm3,\pm7,\pm21. Pelas relações de Girard, a=-(r_1+r_2+r_3+r_4) precisa ser múltiplo de 5.

Testando os conjuntos possíveis, a soma só é múltipla de 5 em \{1,-1,3,7\}, que tem soma 10. Os outros dão somas como 22, 6, -2, 2, -6, -18, 18 e -22.

Com essas raízes:

  1. a=-(1-1+3+7)=-10.
  2. b=-1+3+7-3-7+21=20.
  3. c=-(\text{soma dos produtos três a três})=-(-3-7+21-21)=10.

Conferindo: a, b, c são múltiplos de 5, como exigido.

a^2+b^2+c^2=100+400+100=600

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor que não corresponde a nenhuma escolha de coeficientes compatível com as raízes inteiras e a condição módulo 5.
  • CNão resulta dos coeficientes do único conjunto de raízes que satisfaz a divisibilidade por 5.
  • DSeria obtido com raízes cuja soma não é múltipla de 5, violando a condição.
  • EValor sem relação com os coeficientes -10, 20 e 10.

Assuntos: relações de Girard, polinômios, congruência módulo 5.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗