PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 do ITA 2027

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes quadradas de ordem n e entradas reais.
M_{m,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais.
I_n : denota a matriz identidade de ordem n.
A^t : denota a matriz transposta da matriz A.

Para todo subconjunto S \subset \{n \in \mathbb{N} : 1 \le n \le 60\} com 9 elementos, considere as seguintes afirmações:

I. Existe um subconjunto de S com 4 elementos cuja soma é menor ou igual a 220.

II. Existe um subconjunto A de S, com A \neq \emptyset e A \neq S, tal que a soma dos elementos de A é igual à soma dos elementos de S \setminus A.

III. Existem subconjuntos A e B de S, distintos e não vazios, tais que a soma dos elementos de A é igual à soma dos elementos de B.

É (São) VERDADEIRA(S):

  1. A
    Apenas I.
  2. B
    Apenas II.
  3. C
    Apenas III.
  4. D
    Apenas I e III.
  5. E
    I, II e III.
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Resolução comentada

Afirmação I. Os 4 menores elementos de S têm a menor soma possível entre os subconjuntos de 4 elementos. Em um conjunto de 9 elementos distintos de 1 a 60, os 4 menores somam no máximo o caso em que S é formado pelos maiores números: \{52,\dots,60\}. Então os 4 menores são 52+53+54+55=214\le 220. Em qualquer outro S a soma é ainda menor. Logo, I é verdadeira.

Afirmação II. Ela exige que a soma total de S seja par, pois \sigma(A)=\sigma(S\setminus A) implica \sigma(S)=2\sigma(A). Tome S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}: a soma é 45, ímpar, e a partição é impossível. Logo, II é falsa.

Afirmação III. Conte os subconjuntos não vazios de S: são 2^9-1=511. A soma de cada um fica entre 1 e a soma dos 9 maiores números, 52+\dots+60=504. Assim, as somas possíveis são no máximo 504 valores distintos. Como 511>504, pelo princípio da casa dos pombos dois subconjuntos distintos e não vazios têm a mesma soma. Eles podem ser dois subconjuntos com interseção, mas a afirmação só pede A\neq B, não vazios. Logo, III é verdadeira.

Portanto, são verdadeiras I e III.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana ao fazer parecer que III implica II, mas III permite subconjuntos que se sobrepõem, e II exige uma partição de S.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que III vale pelo princípio da casa dos pombos (511 subconjuntos para no máximo 504 somas).
  • BII é falsa: com S=\{1,\dots,9\} a soma é 45, ímpar, e não há partição em somas iguais.
  • CEsquece que I também é verdadeira: no pior caso, os 4 menores somam 214\le 220.
  • EInclui II, que falha quando a soma de S é ímpar.

Assuntos: princípio da casa dos pombos, combinatória, conjuntos.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗