PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 do ITA 2027

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes quadradas de ordem n e entradas reais.
M_{m,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais.
I_n : denota a matriz identidade de ordem n.
A^t : denota a matriz transposta da matriz A.

Considere as afirmações abaixo:

I. Sejam A, B \in M_n(\mathbb{R}), com A invertível, A^t = A^{-1} e B simétrica. Então, A(I_n - BA)^t = A - B.

II. Sejam A, B \in M_n(\mathbb{R}) matrizes que comutam. Se A^2 = B^2, então A = B ou A = -B.

III. Para quaisquer números naturais n e m, existem matrizes A \in M_{n,m}(\mathbb{R}) e B \in M_{m,n}(\mathbb{R}) tais que AB é invertível.

É (São) VERDADEIRA(S):

  1. A
    Apenas I.
  2. B
    Apenas II.
  3. C
    Apenas III.
  4. D
    Apenas I e II.
  5. E
    Apenas I e III.
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Resolução comentada

I. Como (I_n - BA)^t = I_n - A^tB^t e B^t = B, temos (I_n - BA)^t = I_n - A^tB. Multiplicando por A à esquerda:

A(I_n - A^tB) = A - AA^tB.

Como A^t = A^{-1}, AA^t = I_n, então o resultado é A - B. I é verdadeira.

II. Matrizes que comutam e têm A^2 = B^2 dão (A-B)(A+B) = A^2 + AB - BA - B^2 = 0. Mas o produto de duas matrizes pode ser nulo sem que uma delas seja nula. Contraexemplo: A = I_2 e B = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. Elas comutam (ambas são diagonais) e A^2 = B^2 = I_2, mas A \neq B e A \neq -B. II é falsa.

III. Se n > m, AB \in M_n(\mathbb{R}) tem posto no máximo m < n. Logo AB não é invertível, para quaisquer A e B. Por exemplo, com n=2 e m=1, AB é uma matriz 2\times 2 de posto 1, com determinante 0. Como a afirmação diz "para quaisquer n e m", ela é falsa. III é falsa.

Só a afirmação I é verdadeira.

Alternativa A.

Pegadinha: A afirmação II imita a regra dos números reais (x^2=y^2 \Rightarrow x=\pm y), que não vale para matrizes, mesmo comutando.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BII é falsa: matrizes que comutam podem ter (A-B)(A+B)=0 sem que A=\pm B, como I_2 e \text{diag}(1,-1).
  • CIII é falsa: se n>m, o posto de AB é no máximo m<n, então AB não é invertível.
  • Dinclui II, que é falsa pelo contraexemplo com matrizes diagonais.
  • Einclui III, que é falsa quando n>m, pois o posto de AB é menor que n.

Assuntos: matrizes, matriz transposta e inversa, posto de matrizes.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗