Questão 2 do ITA 2027

Question

De um ponto E pertencente ao lado AB de um quadrado ABCD de lado medindo 10, é traçada uma reta r, paralela à diagonal AC, que intercepta o lado BC no ponto F. Se a distância entre a reta r e a diagonal AC é 5, então o raio da circunferência C_1 inscrita no triângulo BEF é

A
\frac{5}{2}.
B
(2 - \sqrt{2}).
C
(2 - \sqrt{2})^2.
D
\frac{5}{2}(2 - \sqrt{2})^2.
E
(1 - \sqrt{2}).

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 do ITA 2027

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes quadradas de ordem n e entradas reais.
M_{m,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais.
I_n : denota a matriz identidade de ordem n.
A^t : denota a matriz transposta da matriz A.

De um ponto E pertencente ao lado AB de um quadrado ABCD de lado medindo 10, é traçada uma reta r, paralela à diagonal AC, que intercepta o lado BC no ponto F. Se a distância entre a reta r e a diagonal AC é 5, então o raio da circunferência C_1 inscrita no triângulo BEF é

A
\frac{5}{2}.
B
(2 - \sqrt{2}).
C
(2 - \sqrt{2})^2.
D
\frac{5}{2}(2 - \sqrt{2})^2.
E
(1 - \sqrt{2}).

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Como r \parallel AC, o triângulo BEF é semelhante ao triângulo BAC, que é retângulo isósceles em B. Logo BEF também é retângulo isósceles em B, com BE = BF = x.

A diagonal AC mede 10\sqrt{2}, e a distância de B a AC é metade da diagonal: 5\sqrt{2}.

A reta r fica entre B e AC ou do outro lado de AC? Como E está em AB e F em BC, r está do mesmo lado de B. Então a distância de B a r é:

5\sqrt{2} - 5

Essa distância é a altura do triângulo BEF relativa à hipotenusa EF, que vale \frac{x\sqrt{2}}{2}. Então:

\frac{x\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} - 5 \Rightarrow x = 10 - 5\sqrt{2}

Para um triângulo retângulo de catetos x e hipotenusa x\sqrt{2}, o raio da circunferência inscrita é:

r = \frac{\text{cateto} + \text{cateto} - \text{hipotenusa}}{2} = \frac{x(2-\sqrt{2})}{2}

Substituindo x = 5(2-\sqrt{2}):

r = \frac{5(2-\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{2} = \frac{5}{2}(2-\sqrt{2})^2

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com o cálculo; ignora o fator (2-\sqrt{2})^2 que vem do lado x e da fórmula do raio.
BUsa só um fator (2-\sqrt{2}), esquecendo de multiplicar pelo outro e pelo \frac{5}{2}.
CTem o quadrado correto, mas omite o fator \frac{5}{2}.
EResultado negativo, impossível para um raio.

Assuntos: semelhança de triângulos, circunferência inscrita, geometria plana.

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Questão 2 no caderno 1ª fase do ITA 2027

Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗