PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do ITA 2027

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes quadradas de ordem n e entradas reais.
M_{m,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais.
I_n : denota a matriz identidade de ordem n.
A^t : denota a matriz transposta da matriz A.

Seja ABC um triângulo no plano cartesiano com vértices A = (0, 0), B = (2, 4) e C, o qual pertence à circunferência de raio 2 e centro (4, 0). A maior área possível para o triângulo ABC é

  1. A
    12.
  2. B
    10 + \sqrt{5}.
  3. C
    8 + 2\sqrt{5}.
  4. D
    6 + 3\sqrt{5}.
  5. E
    4 + 4\sqrt{5}.
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Resolução comentada

A área do triângulo com base AB é \frac{1}{2}\cdot AB\cdot h, onde h é a distância de C à reta AB. Como AB é fixo, a área é máxima quando h é máxima.

  1. Comprimento da base: AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

  2. Reta AB: passa pela origem com coeficiente angular 4/2=2, logo y=2x, ou seja, 2x-y=0.

  3. Distância do centro (4,0) à reta: d=\dfrac{|2\cdot4-0|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{8}{\sqrt5}.

  4. Os pontos da circunferência mais distantes da reta estão a uma distância igual a d mais o raio: h_{\max}=\dfrac{8}{\sqrt5}+2.

  5. Área máxima:

\text{Área}=\frac12\cdot2\sqrt5\cdot\left(\frac{8}{\sqrt5}+2\right)=\sqrt5\cdot\frac{8}{\sqrt5}+2\sqrt5=8+2\sqrt5.

O ponto C ocorre na extremidade do diâmetro perpendicular à reta AB, do lado oposto a ela.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a conta; ignora a parcela 2\sqrt5 vinda do raio.
  • BNão corresponde a nenhuma combinação correta de base e altura máxima.
  • DValor sem justificativa; erra o cálculo da altura ou da base.
  • EValor sem justificativa; erra a distância do centro à reta.

Assuntos: geometria analítica, distância ponto-reta, área de triângulo.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗