PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 do ITA 2027

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes quadradas de ordem n e entradas reais.
M_{m,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais.
I_n : denota a matriz identidade de ordem n.
A^t : denota a matriz transposta da matriz A.

Seja f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função. Considere as seguintes afirmações:

I. Se f(x) = f(f(x)) para todo x \in \mathbb{R}, então f é uma função constante.

II. Se f(f(x)) = 2x - 7 para todo x \in \mathbb{R}, então f é uma função bijetora.

III. Se f(x) + 2f(-x) = x + 1 para todo x \in \mathbb{R}, então f é uma função afim.

É (São) VERDADEIRA(S):

  1. A
    Nenhuma.
  2. B
    Apenas II.
  3. C
    Apenas I e II.
  4. D
    Apenas II e III.
  5. E
    I, II e III.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

I. Falsa. A função identidade f(x)=x cumpre f(f(x))=x=f(x) e não é constante. Qualquer função com f(f(x))=f(x) serve, ou seja, qualquer f que fixe os pontos da sua imagem.

II. Verdadeira. Seja g(x)=2x-7, que é bijetora. Se f\circ f=g é bijetora, então:

  • f é injetora: se f(a)=f(b), então f(f(a))=f(f(b)), logo 2a-7=2b-7 e a=b.
  • f é sobrejetora: todo y é imagem de algum x por f\circ f, ou seja, y=f(f(x)), e portanto y está na imagem de f.

Assim f é bijetora.

III. Verdadeira. Troque x por -x na equação:

f(-x)+2f(x)=-x+1

Temos o sistema, com a=f(x) e b=f(-x):

  1. a+2b=x+1
  2. 2a+b=-x+1

Multiplicando a segunda por 2 e subtraindo a primeira: 4a+2b-(a+2b)=-2x+2-x-1, ou seja, 3a=-3x+1.

Logo f(x)=-x+\dfrac{1}{3}, que é uma função afim. (Verificação: f(x)+2f(-x)=-x+\tfrac13+2x+\tfrac23=x+1.)

Portanto II e III são verdadeiras e I é falsa.

Alternativa D.

Pegadinha: A afirmação I engana ao sugerir que f(x)=f(f(x)) force função constante, mas a identidade é contraexemplo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AII e III são verdadeiras, então não é verdade que nenhuma seja.
  • BIgnora que o sistema obtido ao trocar x por -x dá f(x)=-x+1/3, que é afim, tornando III verdadeira.
  • CI é falsa: a identidade satisfaz f(f(x))=f(x) sem ser constante.
  • EI é falsa, pois a função identidade é contraexemplo.

Assuntos: funções, função bijetora, equação funcional.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗