PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 do ITA 2027

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes quadradas de ordem n e entradas reais.
M_{m,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes com m linhas, n colunas e entradas reais.
I_n : denota a matriz identidade de ordem n.
A^t : denota a matriz transposta da matriz A.

Um tetraedro possui quatro arestas de tamanho \sqrt{3} e duas arestas opostas de tamanho 2. O volume desse tetraedro é

  1. A
    \dfrac{1}{3}.
  2. B
    \dfrac{2}{3}.
  3. C
    \dfrac{4}{3}.
  4. D
    1.
  5. E
    \dfrac{5}{3}.
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Resolução comentada

Chame o tetraedro de ABCD, com arestas opostas AB = CD = 2 e as outras quatro arestas (AC, AD, BC, BD) iguais a \sqrt{3}.

Sejam M o ponto médio de AB e N o ponto médio de CD.

  1. Os triângulos ACB e ADB são isósceles de base AB=2, com lados iguais a \sqrt{3}. Logo CM = DM = \sqrt{3-1} = \sqrt{2}, e CM \perp AB, DM \perp AB.

  2. Então AB é perpendicular ao plano CMD, pois é perpendicular a duas retas concorrentes desse plano.

  3. No triângulo CMD, temos CM = DM = \sqrt{2} e base CD = 2. A altura MN vale \sqrt{2-1}=1, e a área é

    \text{Área}(CMD)=\frac{2\cdot 1}{2}=1.

  4. O volume é a soma dos volumes das pirâmides ACMD e BCMD, que têm base CMD e alturas AM e BM, ambas iguais a 1, pois AB é perpendicular ao plano da base:

    V=\frac{1}{3}\cdot \text{Área}(CMD)\cdot AB=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot 2=\frac{2}{3}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa só uma das pirâmides (altura AM=1), esquecendo a outra metade do tetraedro.
  • Cdobra o resultado, usando altura 2 e base de área 2, sem justificativa geométrica.
  • Dtoma a área da base CMD igual a 1 e ignora o fator \frac{1}{3} da pirâmide.
  • Enão corresponde a nenhum cálculo coerente; supera o volume real.

Assuntos: geometria espacial, volume de tetraedro.

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Fonte: ITA 2027 · 1ª fase. Prova oficial ↗