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levou 15 s
Como pensou
Efetuando a divisão polinomial, obtemos
2n^3-5n^2-52n+90=(2n-1)(n^2-2n-27)+63.
Logo,
\frac{2n^3-5n^2-52n+90}{n^2-2n-27}
=2n-1+\frac{63}{n^2-2n-27}.
Para n inteiro, o denominador não se anula, pois
n^2-2n-27=0\iff(n-1)^2=28,
e 28 não é quadrado perfeito.
Assim, o quociente é inteiro se, e somente se,
d=n^2-2n-27
é um divisor de 63, isto é,
d\in\{\pm1,\pm3,\pm7,\pm9,\pm21,\pm63\}.
Como (n-1)^2=28+d, temos
(n-1)^2\in\{-35,7,19,21,25,27,29,31,35,37,49,91\}.
Os únicos quadrados perfeitos nessa lista são 25 e 49. Portanto,
n-1=\pm5\quad\text{ou}\quad n-1=\pm7,
o que fornece n=-4,6,-6,8. Todos satisfazem a condição, pois seus denominadores são, respectivamente, -3 ou 21, divisores de 63.
Resposta final: n\in\{-6,-4,6,8\}.
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levou 24 s
Como pensou
**Solving polynomial divisibility**
I'm working on polynomial divisibility and need to find exact integers. I computed the division of the numerator (2n-1) over the denominator (2n^3-5n²-52n+27), yielding a remainder of 63. I revisited the denominator for factors: n-1 squared minus 28 must not equal zero since 28 isn't a perfect square. The divisors include 63 and its multiples. I’ll summarize valid d values and associated perfect squares concisely. Only specific divisors satisfy the conditions, leading to key results like -6, -4, 6, and 8.**Analyzing bounds and parity**
I’m contemplating organizing a table with both negative and positive entries, which might get cumbersome with 12 entries spread across 2 rows. Alternatively, I could simplify things using bounds and parity. Noticing that the denominator is odd (63), this implies that n must be even. Consequently, n-1 will be odd, leading me to examine conditions on (n-1)² within bounds of -63 and 63. This results in d values of -27, -19, -3, 21, and 53, but only -3 and 21 are relevant.
Pela divisão de polinômios,
2n^3-5n^2-52n+90=(2n-1)(n^2-2n-27)+63.
Logo,
\frac{2n^3-5n^2-52n+90}{n^2-2n-27}
=2n-1+\frac{63}{n^2-2n-27}.
Como 2n-1 é inteiro, o quociente será inteiro se, e somente se,
d=n^2-2n-27=(n-1)^2-28
for um divisor de 63. Observe que o denominador não se anula para n inteiro, pois isso exigiria (n-1)^2=28.
Assim,
d\in\{\pm1,\pm3,\pm7,\pm9,\pm21,\pm63\},
\qquad (n-1)^2=28+d.
Os possíveis valores de 28+d são
-35,\ 7,\ 19,\ 21,\ 25,\ 27,\ 29,\ 31,\ 35,\ 37,\ 49,\ 91.
Desses, apenas 25 e 49 são quadrados perfeitos. Portanto:
\begin{aligned}
(n-1)^2=25&\ \Longrightarrow\ n=1\pm5\ \Longrightarrow\ n=-4\ \text{ou}\ 6;\\
(n-1)^2=49&\ \Longrightarrow\ n=1\pm7\ \Longrightarrow\ n=-6\ \text{ou}\ 8.
\end{aligned}
Todos esses valores tornam o denominador um divisor de 63, satisfazendo a condição.
Resposta final: n\in\{-6,-4,6,8\}.
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levou 8 s
Como pensou
**Exploring polynomial division**
I need to solve this in Portuguese and make sure the denominator is non-zero while aiming for an integer quotient. I’m thinking polynomial division might work, particularly modulo the denominator.
The numerator is 2n³ - 5n² - 52n + 90 and the denominator is n² - 2n - 27. Dividing, I find the quotient is 2n - 1 with a remainder of 63. For the result to be an integer, the denominator needs to divide 63. I’m evaluating integer values for n and their corresponding divisors. Ultimately, the possible n values are -6, -4, 6, and 8.**Verifying denominator non-zero**
I need to check if the denominator is non-zero. For n = -6, I calculate 36 + 12 - 27 = 21, which allows the remainder of 63 to be divided, yielding a quotient of 3, an integer!
For n = -4, I find 16 + 8 - 27 gives me -3, and 63 divided by -3 equals -21, which is also valid. It’s crucial to address the requirement that the quotient must be an integer, excluding zero. I’ll use divisor logic and factor in the final response, presented in Portuguese!
Fazendo a divisão dos polinômios,
2n^3-5n^2-52n+90
=(2n-1)(n^2-2n-27)+63.
Logo,
\frac{2n^3-5n^2-52n+90}{n^2-2n-27}
=2n-1+\frac{63}{n^2-2n-27}.
Como 2n-1 é inteiro, o quociente será inteiro se, e somente se,
n^2-2n-27\mid 63.
Escrevendo n^2-2n-27=(n-1)^2-28, temos
(n-1)^2=28+d,
em que d é um divisor inteiro não nulo de 63. Entre os valores possíveis de 28+d, os quadrados perfeitos são 49 (para d=21) e 25 (para d=-3). Assim,
(n-1)^2=49 \quad\text{ou}\quad (n-1)^2=25,
o que fornece n=8,-6,6,-4. Para esses valores, o denominador não é nulo.
Resposta final: n\in\{-6,-4,6,8\}.
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n \in \{-6,\ -4,\ 6,\ 8\}
levou 15 s
Como pensou
I'm performing polynomial long division of 2n³ − 5n² − 52n + 90 by n² − 2n − 27, working through the quotient terms step by step to find the remainder, so I can determine when the division yields an integer result.
Since the quotient simplifies to 2n − 1 + 63/(n² − 2n − 27), I need n² − 2n − 27 to divide 63 evenly. Writing n² − 2n − 27 as (n−1)² − 28, I test each divisor of 63 to see when 28 + d forms a perfect square, finding valid solutions at d = −3 (giving n = 6, −4) and d = 21 (giving n = 8, −6), and confirming the denominator never vanishes since its discriminant isn't a perfect square. This gives the final answer: n ∈ {−6, −4, 6, 8}.
Divisão dos polinômios
Dividindo 2n^3 - 5n^2 - 52n + 90 por n^2 - 2n - 27:
2n\cdot(n^2-2n-27) = 2n^3 - 4n^2 - 54n, resto parcial: -n^2 + 2n + 90.
-1\cdot(n^2-2n-27) = -n^2 + 2n + 27, resto: 63.
Logo
2n^3 - 5n^2 - 52n + 90 = (2n-1)(n^2-2n-27) + 63,
e, como
n^2-2n-27 \neq 0 para
n inteiro (discriminante
4+108=112 não é quadrado perfeito),
\frac{2n^3 - 5n^2 - 52n + 90}{n^2 - 2n - 27} = 2n - 1 + \frac{63}{n^2-2n-27}.
Como 2n-1 é inteiro, o quociente é inteiro se, e somente se, n^2-2n-27 divide 63.
Divisores de 63: \pm1, \pm3, \pm7, \pm9, \pm21, \pm63.
Escrevendo n^2-2n-27 = (n-1)^2 - 28, precisamos que (n-1)^2 = 28 + d seja um quadrado perfeito, com d divisor de 63:
- d=1 \Rightarrow 29 (não); d=-1 \Rightarrow 27 (não)
- d=3 \Rightarrow 31 (não); d=-3 \Rightarrow 25 = 5^2 ✓ \Rightarrow n-1=\pm5 \Rightarrow n=6 ou n=-4
- d=7 \Rightarrow 35 (não); d=-7 \Rightarrow 21 (não)
- d=9 \Rightarrow 37 (não); d=-9 \Rightarrow 19 (não)
- d=21 \Rightarrow 49 = 7^2 ✓ \Rightarrow n-1=\pm7 \Rightarrow n=8 ou n=-6; d=-21 \Rightarrow 7 (não)
- d=63 \Rightarrow 91 (não); d=-63 \Rightarrow -35 (não)
Verificação:
- n=6: n^2-2n-27 = -3, e 63/(-3) = -21 ✓
- n=-4: n^2-2n-27 = -3 ✓
- n=8: n^2-2n-27 = 21, e 63/21 = 3 ✓
- n=-6: n^2-2n-27 = 21 ✓
Resposta final: n \in \{-6,\ -4,\ 6,\ 8\}
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levou 11 s
Como pensou
Dividing 2n^3-5n^2-52n+90 by n^2-2n-27, I get a quotient of 2n-1 with remainder 63, so the division works evenly only when n^2-2n-27 divides 63.
Rewriting n^2-2n-27 as (n-1)^2-28, I check which values make (n-1)^2-28 a divisor of 63, finding only (n-1)^2=25 and (n-1)^2=49 give perfect squares. These correspond to n=6,-4 (divisor -3) and n=8,-6 (divisor 21), and plugging back into the quotient formula confirms all four work, giving n ∈ {-6,-4,6,8}.
Divisão de polinômios
Dividimos o numerador pelo denominador:
- 2n\cdot(n^2-2n-27)=2n^3-4n^2-54n. Subtraindo do numerador, sobra -n^2+2n+90.
- -1\cdot(n^2-2n-27)=-n^2+2n+27. Subtraindo, sobra o resto 63.
Logo
\frac{2n^3-5n^2-52n+90}{n^2-2n-27}=2n-1+\frac{63}{n^2-2n-27}.
Condição de divisibilidade
Como 2n-1 é inteiro, o quociente é inteiro se e somente se n^2-2n-27 divide 63.
Escrevendo n^2-2n-27=(n-1)^2-28, precisamos de
(n-1)^2-28=d,\qquad d\in\{\pm1,\pm3,\pm7,\pm9,\pm21,\pm63\}.
Então (n-1)^2=28+d, e os valores possíveis são:
28+d\in\{29,\,27,\,31,\,25,\,35,\,21,\,37,\,19,\,49,\,7,\,91,\,-35\}.
Os únicos quadrados perfeitos são 25 (com d=-3) e 49 (com d=21).
Casos
- (n-1)^2=25, isto é, n=6 ou n=-4. Aqui d=-3:
- n=6: quociente =11-21=-10.
- n=-4: quociente =-9-21=-30.
- (n-1)^2=49, isto é, n=8 ou n=-6. Aqui d=21:
- n=8: quociente =15+3=18.
- n=-6: quociente =-13+3=-10.
Verificação (n=6): o numerador vale 432-180-312+90=30 e o denominador vale 36-12-27=-3. Assim, 30/(-3)=-10, o que confirma o cálculo.
Resposta final: n\in\{-6,\,-4,\,6,\,8\}
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levou 8 s
Como pensou
Dividing the polynomial gives quotient 2n-1 with remainder 63, so I need n^2-2n-27 to divide 63 evenly.
Writing n^2-2n-27 as (n-1)^2-28, I set m=n-1 and check each divisor of 63 to see which makes m^2-28 a perfect square. Only d=-3 and d=21 work, giving m=±5 or ±7, so n=6, -4, 8, or -6 — and I confirm none of these make the denominator zero.
Desenvolvimento
Dividindo o numerador pelo denominador:
2n³ − 5n² − 52n + 90 = (n² − 2n − 27)(2n − 1) + 63
Conferindo: (n² − 2n − 27)(2n − 1) = 2n³ − n² − 4n² + 2n − 54n + 27 = 2n³ − 5n² − 52n + 27, e somando 63 obtém-se o numerador.
Logo
Q = 2n − 1 + 63/(n² − 2n − 27).
Para n inteiro, 2n − 1 é inteiro. Então Q é inteiro se, e somente se, 63/(n² − 2n − 27) for inteiro, isto é, se n² − 2n − 27 divide 63. O denominador nunca é zero para n inteiro, pois suas raízes são 1 ± 2√7, que são irracionais.
Escrevendo n² − 2n − 27 = (n − 1)² − 28 e m = n − 1, devemos ter m² − 28 = d, com d ∈ {±1, ±3, ±7, ±9, ±21, ±63}. Assim m² = 28 + d:
| d |
28 + d |
quadrado perfeito? |
| 1 |
29 |
não |
| −1 |
27 |
não |
| 3 |
31 |
não |
| −3 |
25 |
sim, m = ±5 |
| 7 |
35 |
não |
| −7 |
21 |
não |
| 9 |
37 |
não |
| −9 |
19 |
não |
| 21 |
49 |
sim, m = ±7 |
| −21 |
7 |
não |
| 63 |
91 |
não |
| −63 |
−35 |
não |
Portanto:
- m = 5 dá n = 6.
- m = −5 dá n = −4.
- m = 7 dá n = 8.
- m = −7 dá n = −6.
Verificação: para n = 6 o denominador vale −3, para n = −4 vale −3, para n = 8 vale 21 e para n = −6 vale 21. Todos dividem 63.
Resposta final: n ∈ {−6, −4, 6, 8}
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levou 1 min 03 s
Como pensou
The problem is in Portuguese. I need to find all integer values of n such that the quotient (2n³ - 5n² - 52n + 90) / (n² - 2n - 27) is an integer.
I'm performing polynomial division to express the numerator as a linear quotient times the denominator plus a remainder.
The division yields a quotient of 2n - 1 and a remainder of 63. For the fraction to be an integer, q(n) must divide 63. I will find all integer values of n for which q(n) divides 63.
I am checking each divisor of 63 as a possible value for q(n). For each divisor d, I solve n² - 2n - (27 + d) = 0. The discriminant must be a perfect square, and its square root must be even so that n is an integer.
I am now solving m² = 28 + d for each divisor d of 63. The negative divisors yield m² values below zero, so they are impossible. Only the positive divisors and the zero case remain to be checked.
Only two divisors of 63 satisfy the condition: d = -3 and d = 21. These correspond to m = 5 and m = 7, giving n = 1 ± 5 and n = 1 ± 7. The remaining divisors yield non-square values of 28 + d.
The four integer solutions are n = 6, -4, 8, and -6. I verified each by substituting back into the original fraction to confirm the quotient is an integer.
I bounded the possible values of n by rewriting the denominator as (n-1)² - 28. Since q(n) must satisfy |q(n)| ≤ 63, I derived that 0 ≤ (n-1)² ≤ 91. This restricts n to the range -8 ≤ n ≤ 10.
Resolução
Sejam p(n) = 2n^3 - 5n^2 - 52n + 90 e q(n) = n^2 - 2n - 27. Deseja-se determinar todos os inteiros n tais que q(n) \neq 0 e o quociente p(n)/q(n) seja inteiro.
Efetuando a divisão de p por q, obtém-se
p(n) = (2n - 1)q(n) + 63.
De fato,
(2n - 1)(n^2 - 2n - 27) = 2n^3 - 5n^2 - 52n + 27,
e portanto
p(n) - (2n - 1)q(n) = 63.
Segue que
\frac{p(n)}{q(n)} = 2n - 1 + \frac{63}{q(n)},
desde que q(n) \neq 0. Como n é inteiro, 2n - 1 é inteiro, de modo que p(n)/q(n) é inteiro se e somente se q(n) divide 63.
Os divisores inteiros de 63 são \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63. Assim, deve-se resolver
n^2 - 2n - 27 = d
para cada um desses valores de d, e reter apenas as soluções inteiras n (automaticamente q(n) \neq 0). Equivalentemente,
(n - 1)^2 = 28 + d,
de modo que 28 + d deve ser um quadrado perfeito não negativo. Verificando os doze candidatos:
- 28 + 21 = 49 = 7^2,
- 28 + (-3) = 25 = 5^2,
e nenhum dos demais valores 28 + d é um quadrado perfeito (em particular, 28 - 63 < 0).
- Se 28 + d = 25, então d = -3 e n - 1 = \pm 5, logo n = 6 ou n = -4.
- Se 28 + d = 49, então d = 21 e n - 1 = \pm 7, logo n = 8 ou n = -6.
Portanto, os únicos inteiros n que satisfazem a condição são -6, -4, 6, 8.
(Para confirmação direta: q(6) = q(-4) = -3 e q(8) = q(-6) = 21, ambos divisores de 63.)
Resposta final: -6, -4, 6, 8
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levou 12 s
Como pensou
A questão pede: Determine todos os valores inteiros n tais que o quociente (2n³ - 5n² - 52n + 90)/(n² - 2n - 27) seja um número inteiro.
Vamos realizar a divisão polinomial.
Dividendo: 2n³ - 5n² - 52n + 90
Divisor: n² - 2n - 27
2n³ / n² = 2n. Multiplicando: 2n³ - 4n² - 54n. Subtraindo:
(2n³ - 5n² - 52n + 90) - (2n³ - 4n² - 54n) = -n² + 2n + 90.
Agora, -n² / n² = -1. Multiplicando divisor por -1: -n² + 2n + 27. Subtraindo:
(-n² + 2n + 90) - (-n² + 2n + 27) = 63.
Então: (2n³ - 5n² - 52n + 90) = (2n - 1)(n² - 2n - 27) + 63.
Portanto, a expressão é 2n - 1 + 63/(n² - 2n - 27).
Para o quociente ser inteiro, precisamos que 63/(n² - 2n - 27) seja inteiro, ou seja, que n² - 2n - 27 divida 63, e o divisor não pode ser zero.
Nota: n² - 2n - 27 = (n-1)² - 28. Raízes: n = 1 ± √28, não inteiras. Então o denominador nunca é zero para n inteiro. Bom.
Precisamos que n² - 2n - 27 seja um divisor inteiro de 63. Os divisores de 63: ±1, ±3, ±7, ±9, ±21, ±63.
Então resolvemos n² - 2n - 27 = d, ou seja, n² - 2n - (27+d) = 0. Discriminante Δ = 4 + 4(27+d) = 4(1 + 27 + d) = 4(28 + d). Para n inteiro, (n-1)² = 28 + d. Então 28 + d deve ser um quadrado perfeito.
Seja k = n - 1, k ∈ ℤ. Então n² - 2n - 27 = k² - 28. Queremos k² - 28 dividindo 63. Como k² - 28 = d, então k² = d + 28.
d ∈ {±1, ±3, ±7, ±9, ±21, ±63}.
Testar d + 28 ser quadrado perfeito:
d = 1: 29 não é quadrado.
d = -1: 27 não é quadrado.
d = 3: 31 não.
d = -3: 25 = 5². Boa! k = ±5 -> n = 1 ± 5 -> n = 6 ou n = -4.
d = 7: 35 não.
d = -7: 21 não.
d = 9: 37 não.
d = -9: 19 não.
d = 21: 49 = 7². Boa! k = ±7 -> n = 1 ± 7 -> n = 8 ou n = -6.
d = -21: 7 não.
d = 63: 91 não.
d = -63: -35 não.
Então os valores possíveis: n = 6, -4, 8, -6.
Verificar se satisfazem. Para n = 6: n² - 2n - 27 = 36 - 12 - 27 = -3. 63/(-3) = -21. Inteiro. OK.
n = -4: 16 + 8 - 27 = -3. Mesmo. OK.
n = 8: 64 - 16 - 27 = 21. 63/21 = 3. Inteiro. OK.
n = -6: 36 + 12 - 27 = 21. 63/21 = 3. OK.
Então n ∈ {-6, -4, 6, 8}.
Vamos verificar se há outros divisores? A lista de divisores de 63 é ±1, ±3, ±7, ±9, ±21, ±63. Isso é completo.
Mas espera, e se n² - 2n - 27 = 0? Não ocorre para n inteiro (raízes irracionais). OK.
Também devemos verificar se o denominador não pode ser zero. Já vimos.
Resposta: n ∈ {-6, -4, 6, 8}.
Vamos escrever a solução passo a passo em português.
A questão é discursiva. Vou mostrar a divisão euclidiana de polinômios.
Vamos escrever:
Efetuando a divisão de 2n³ - 5n² - 52n + 90 por n² - 2n - 27, obtemos quociente 2n - 1 e resto 63.
De fato:
(2n - 1)(n² - 2n - 27) = 2n³ - 4n² - 54n - n² + 2n + 27 = 2n³ - 5n² - 52n + 27.
Somando 63: 2n³ - 5n² - 52n + 90. Confere.
Assim, a expressão dada é igual a 2n - 1 + 63/(n² - 2n - 27).
Como 2n - 1 é inteiro para todo n inteiro, o quociente é inteiro se e somente se 63/(n² - 2n - 27) for inteiro, ou seja, se n² - 2n - 27 for um divisor inteiro de 63.
Notemos que n² - 2n - 27 = (n - 1)² - 28. Seja d = n² - 2n - 27. Então (n - 1)² = d + 28. Como n é inteiro, (n-1)² é um quadrado perfeito. Portanto d + 28 deve ser um quadrado perfeito, com d divisor de 63.
Listando os divisores de 63: ±1, ±3, ±7, ±9, ±21, ±63.
Calculando d + 28:
d=1 → 29 (não quadrado)
d=-1 → 27 (não)
d=3 → 31 (não)
d=-3 → 25 = 5² → n - 1 = ±5 → n = 6 ou n = -4.
d=7 → 35 (não)
d=-7 → 21 (não)
d=9 → 37 (não)
d=-9 → 19 (não)
d=21 → 49 = 7² → n - 1 = ±7 → n = 8 ou n = -6.
d=-21 → 7 (não)
d=63 → 91 (não)
d=-63 → -35 (não)
Portanto, os valores inteiros de n são -6, -4, 6, 8.
Verificação: para n = -6 e n = 8, n² - 2n - 27 = 21; para n = -4 e n = 6, n² - 2n - 27 = -3. Em todos os casos, 63/(n² - 2n - 27) é inteiro. Logo, o quociente é inteiro.
Resposta final: n ∈ {-6, -4, 6, 8} (ou seja, n = -6, -4, 6, 8).
Vou colocar a resposta final de forma curta: "n ∈ {-6, -4, 6, 8}".
Agora produzir a resposta.
Efetuando a divisão do polinômio do numerador pelo do denominador:
\frac{2n^3-5n^2-52n+90}{n^2-2n-27}
Temos
(2n-1)(n^2-2n-27)=2n^3-4n^2-54n-n^2+2n+27=2n^3-5n^2-52n+27.
Logo,
2n^3-5n^2-52n+90=(2n-1)(n^2-2n-27)+63.
Portanto,
\frac{2n^3-5n^2-52n+90}{n^2-2n-27}=2n-1+\frac{63}{n^2-2n-27}.
Como 2n-1 é inteiro para todo n inteiro, o quociente dado é inteiro se, e somente se,
\frac{63}{n^2-2n-27}
for inteiro, isto é, se n^2-2n-27 for um divisor inteiro de 63.
Observemos que
n^2-2n-27=(n-1)^2-28.
Assim, escrevendo d=n^2-2n-27, devemos ter d\mid 63 e
(n-1)^2=d+28.
Como n é inteiro, (n-1)^2 é um quadrado perfeito. Os divisores inteiros de 63 são
\pm 1,\ \pm 3,\ \pm 7,\ \pm 9,\ \pm 21,\ \pm 63.
Testando quais d+28 são quadrados perfeitos:
\begin{array}{c|c|c}
d & d+28 & \text{quadrado?}\\ \hline
1 & 29 & \text{não}\\
-1 & 27 & \text{não}\\
3 & 31 & \text{não}\\
-3 & 25=5^2 & n-1=\pm 5\\
7 & 35 & \text{não}\\
-7 & 21 & \text{não}\\
9 & 37 & \text{não}\\
-9 & 19 & \text{não}\\
21 & 49=7^2 & n-1=\pm 7\\
-21 & 7 & \text{não}\\
63 & 91 & \text{não}\\
-63 & -35 & \text{não}
\end{array}
Portanto,
n-1=\pm 5 \Rightarrow n=6 \text{ ou } n=-4,
n-1=\pm 7 \Rightarrow n=8 \text{ ou } n=-6.
Verificação: para n=-6 e n=8, temos n^2-2n-27=21; para n=-4 e n=6, temos n^2-2n-27=-3. Em todos os casos, 63/(n^2-2n-27) é inteiro.
Resposta final: n\in\{-6,\,-4,\,6,\,8\}
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levou 25 s
Como pensou
**Analyzing the Expression**
I'm currently examining the provided fraction to identify integer values of 'n'. My focus is on simplifying the expression and determining the conditions under which it yields an integer quotient.
**Simplifying the Expression**
I've successfully performed the polynomial division, yielding a remainder of 63. Now, I'm focused on identifying integer divisors of 63 for the denominator $n^2 - 2n - 27$.
**Finding Integer Solutions**
My current focus is on transforming the problem into finding integer divisors of 63 that, when 28 is added, result in perfect squares. I'm systematically testing each of the 12 divisors of 63 to see if this condition is met.
**Testing Divisors of 63**
I've systematically tested each divisor of 63. Two divisors, 21 and -3, resulted in perfect squares when 28 was added, yielding integer solutions for 'n'.
**Validating Integer Solutions**
I have successfully verified all the integer solutions derived from testing the divisors of 63. All four identified values of 'n' satisfy the original expression, confirming my findings.
**Verifying Found Solutions**
I am now meticulously cross-referencing my derived integer solutions, $\{-6, -4, 6, 8\}$, against the original expression to ensure complete validation.
Para que o quociente dado seja um número inteiro, efetuamos inicialmente a divisão euclidiana de polinômios entre o numerador e o denominador:
Dividindo 2n^3 - 5n^2 - 52n + 90 por n^2 - 2n - 27:
- \dfrac{2n^3}{n^2} = 2n
(2n^3 - 5n^2 - 52n + 90) - 2n(n^2 - 2n - 27) = -n^2 + 2n + 90
- \dfrac{-n^2}{n^2} = -1
(-n^2 + 2n + 90) - (-1)(n^2 - 2n - 27) = 63
Logo, a identidade da divisão é:
2n^3 - 5n^2 - 52n + 90 = (2n - 1)(n^2 - 2n - 27) + 63
Reescrevendo o quociente:
\frac{2n^3 - 5n^2 - 52n + 90}{n^2 - 2n - 27} = 2n - 1 + \frac{63}{n^2 - 2n - 27}
Sendo n \in \mathbb{Z}, a parcela 2n - 1 é sempre inteira. Portanto, a expressão será um número inteiro se, e somente se, o denominador n^2 - 2n - 27 for um divisor de 63.
Completando o quadrado no denominador:
n^2 - 2n - 27 = (n - 1)^2 - 28
Definindo k = n - 1 \in \mathbb{Z}, temos que k^2 - 28 deve pertencer ao conjunto dos divisores inteiros de 63:
\mathcal{D}(63) = \{\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63\}
Assim, analisamos as possibilidades para k^2 = (k^2 - 28) + 28:
- k^2 - 28 = 63 \implies k^2 = 91 (não é quadrado perfeito)
- k^2 - 28 = -63 \implies k^2 = -35 (sem solução real)
- k^2 - 28 = 21 \implies k^2 = 49 \implies k = \pm 7
- k^2 - 28 = -21 \implies k^2 = 7 (não é quadrado perfeito)
- k^2 - 28 = 9 \implies k^2 = 37 (não é quadrado perfeito)
- k^2 - 28 = -9 \implies k^2 = 19 (não é quadrado perfeito)
- k^2 - 28 = 7 \implies k^2 = 35 (não é quadrado perfeito)
- k^2 - 28 = -7 \implies k^2 = 21 (não é quadrado perfeito)
- k^2 - 28 = 3 \implies k^2 = 31 (não é quadrado perfeito)
- k^2 - 28 = -3 \implies k^2 = 25 \implies k = \pm 5
- k^2 - 28 = 1 \implies k^2 = 29 (não é quadrado perfeito)
- k^2 - 28 = -1 \implies k^2 = 27 (não é quadrado perfeito)
Das equações válidas, obtemos:
- k = \pm 7 \implies n - 1 = \pm 7 \implies n = 8 ou n = -6
- k = \pm 5 \implies n - 1 = \pm 5 \implies n = 6 ou n = -4
Logo, os valores inteiros de n são -6, -4, 6 e 8.
Resposta final: n ∈ {-6, -4, 6, 8}
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levou 35 s
Como pensou
**Analyzing Polynomial Division**
I've begun by performing polynomial division on the given expression. My current focus is on determining the quotient and remainder when dividing $2n^3 - 5n^2 - 52n + 90$ by $n^2 - 2n - 27$. This step is crucial for simplifying the problem into a condition on the remainder.
**Completing Polynomial Division**
I have successfully performed the polynomial division, establishing that $\frac{2n^3 - 5n^2 - 52n + 90}{n^2 - 2n - 27} = 2n - 1 + \frac{63}{n^2 - 2n - 27}$. The focus now shifts to analyzing the divisibility of 63 by $n^2 - 2n - 27$.
**Finding Valid Divisors**
I've been exploring potential divisors for 63, specifically looking for cases where $n^2 - 2n - 27$ results in a perfect square when added to or subtracted from 28. I've identified two such divisors: -3 and 21, which lead to $(n-1)^2$ being 25 and 49 respectively.
**Verifying Solutions for n**
My current focus is on solving for $n$ using the quadratic equation derived from the perfect square condition. I've found potential integer solutions for $n$ as 6, -4, 8, and -6 by considering the square roots of 25 and 49. I'm now proceeding to verify these values in the original expression.
Para determinar todos os valores inteiros de n tais que a fração dada seja um número inteiro, realizamos inicialmente a divisão polinomial do numerador pelo denominador:
2n^3 - 5n^2 - 52n + 90 = (2n - 1)(n^2 - 2n - 27) + 63
Dessa forma, podemos reescrever o quociente como:
\frac{2n^3 - 5n^2 - 52n + 90}{n^2 - 2n - 27} = 2n - 1 + \frac{63}{n^2 - 2n - 27}
Como n \in \mathbb{Z}, a parcela 2n - 1 é sempre um número inteiro. Logo, a expressão original será um número inteiro se, e somente se, o denominador n^2 - 2n - 27 for um divisor inteiro de 63.
Completando o quadrado no denominador, temos:
n^2 - 2n - 27 = (n - 1)^2 - 28
Seja d um divisor inteiro de 63. Precisamos que:
(n - 1)^2 - 28 = d \iff (n - 1)^2 = 28 + d
Portanto, 28 + d deve ser um quadrado perfeito. O conjunto dos divisores inteiros de 63 é:
D(63) = \{\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63\}
Testando cada um dos valores possíveis para d:
- Para d = -63: 28 - 63 = -35 (não é quadrado perfeito)
- Para d = -21: 28 - 21 = 7 (não é quadrado perfeito)
- Para d = -9: 28 - 9 = 19 (não é quadrado perfeito)
- Para d = -7: 28 - 7 = 21 (não é quadrado perfeito)
- Para d = -3: 28 - 3 = 25 = 5^2 (é quadrado perfeito)
- Para d = -1: 28 - 1 = 27 (não é quadrado perfeito)
- Para d = 1: 28 + 1 = 29 (não é quadrado perfeito)
- Para d = 3: 28 + 3 = 31 (não é quadrado perfeito)
- Para d = 7: 28 + 7 = 35 (não é quadrado perfeito)
- Para d = 9: 28 + 9 = 37 (não é quadrado perfeito)
- Para d = 21: 28 + 21 = 49 = 7^2 (é quadrado perfeito)
- Para d = 63: 28 + 63 = 91 (não é quadrado perfeito)
Assim, os únicos valores de d que satisfazem a condição são d = -3 e d = 21. Resolvendo para n em cada caso:
-
Para d = -3:
(n - 1)^2 = 25 \implies n - 1 = \pm 5 \implies n = 6 \text{ ou } n = -4
-
Para d = 21:
(n - 1)^2 = 49 \implies n - 1 = \pm 7 \implies n = 8 \text{ ou } n = -6
Portanto, os valores inteiros de n são -6, -4, 6 e 8.
Resposta final: -6, -4, 6, 8
