DESEMPENHO NESTA PROVA
GPT-6.1 Sol
Na prova ITA 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | (39,40,\ldots,48), (30,33,\ldots,57), (21,26,\ldots,66), (12,19,\ldots,75), (3,12,\ldots,84) e suas respectivas ordens inversas, totalizando 10 progressões. |
Sejam \(a\) o primeiro termo e \(r\) a razão da progressão. Como os termos são naturais, \(a,r\in\mathbb Z\), e \[ \frac{10(a+a+9r)}2=435 \quad\Longrightarrow\quad 2a+9r=87. \] Logo, \[ a=\frac{87-9r}{2} \quad\text{e}\quad a_{10}=a+9r=\fr… |
| 2 (Matemática) | = | \displaystyle x\in\left(\log_2\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right),\,1\right). |
Como \(2^x+2>2\), temos \(\log_2(2^x+2)>1>0\). Assim, a desigualdade equivale a \[ \log_2(2^x+2)>2|x|. \] **Caso \(x\geq 0\):** pela monotonicidade do logaritmo, \[ \log_2(2^x+2)>2x \iff 2^x+2>2^{2x}. \] Fazendo \(t=2^x\geq1\), obtemos \… |
| 3 (Matemática) | = | lados de comprimento \sqrt{1-\frac{\sqrt2}{2}} e r=\frac1{16}. |
Da equação \[ r+iz^8=0\quad\Longrightarrow\quad z^8=ir, \] obtemos as oito raízes \[ z_k=r^{1/8}\left[\cos\left(\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{4}\right) +i\sen\left(\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{4}\right)\right], \quad k=0,1,\ldots,7. \] Logo, o… |
| 4 (Matemática) | = | -1 (raiz dupla), 2, i, -i, 3+2\sqrt2 e 3-2\sqrt2. |
Fatorando o divisor, temos \[ q(x)=x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2. \] Como \(q(x)\) divide \(p(x)\), necessariamente \(p(2)=0\). Logo, \[ 2^7+3a\cdot2^6-2^5-5a\cdot2^4+7\cdot2^3-7a\cdot2^2+9\cdot2+a=0, \] isto é, \[ 170+85a=0\quad\Longrightarrow\q… |
| 5 (Matemática) | = | 5\sqrt3-9. |
Como \(A\) e \(B\) têm abscissa \(1\) e pertencem à elipse, \[ 2(1)^2+y^2=6\quad\Longrightarrow\quad y=\pm2. \] Assim, podemos tomar \(A=(1,2)\) e \(B=(1,-2)\), de modo que \(AB=4\). Sendo o perímetro igual a \(10\), temos \[ AC+BC=6. \]… |
| 6 (Matemática) | = | 235. |
Denotemos as três equações por \(E_1,E_2,E_3\). Fazendo \(2E_1-E_2\), obtemos \[ x_1+2x_6=8. \] Como os números naturais são positivos, temos \[ x_6\in\{1,2,3\},\qquad x_1=8-2x_6. \] Por outro lado, de \(E_3-2E_1\), segue que \[ x_3+x_4+… |
| 7 (Matemática) | = | n\in\{-6,-4,6,8\}. |
Pela divisão de polinômios, \[ 2n^3-5n^2-52n+90=(2n-1)(n^2-2n-27)+63. \] Logo, \[ \frac{2n^3-5n^2-52n+90}{n^2-2n-27} =2n-1+\frac{63}{n^2-2n-27}. \] Como \(2n-1\) é inteiro, o quociente será inteiro se, e somente se, \[ d=n^2-2n-27=(n-1)^… |
| 8 (Matemática) | = | a) x\in(0,1]\cup[9,10); b) \sqrt{10} e 3\sqrt{10}. |
Adote \(A=(0,0)\), \(B=(10,0)\), \(C=(10,6)\) e \(D=(0,6)\). Escreva \[ E=(x,0),\qquad F=(10,y), \] com \(0<x<10\) e \(0<y<6\). Como \(G\in\overline{CD}\), \(H\in\overline{DA}\) e as diagonais do retângulo \(EFGH\) têm o mesmo ponto médi… |
| 9 (Matemática) | = | 10+5\sqrt3. |
Sejam \(V\) o vértice da pirâmide, \(ABCDEF\) os vértices consecutivos da base e \(O\) seu centro. Por simetria, podemos considerar a seção passando pela diagonal \(AD\) e paralela à face \(VBC\). **Altura da face lateral.** Seja \(P\) o… |
| 10 (Matemática) | = | k=3. |
Pelas identidades \(1+\cos(2x)=2\cos^2x\) e \(1-\cos(2x)=2\sen^2x\), temos \[ f(x)=\sqrt2\,|\cos x|+\sqrt2\,|\sen x|-\sen x-\cos x. \] **No primeiro quadrante**, \(\sen x>0\) e \(\cos x>0\). Logo, \[ f(x)=(\sqrt2-1)(\sen x+\cos x). \] Ne… |