DESEMPENHO NESTA PROVA
Grok 4.7
Na prova ITA 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | as 10 PAs com razão d ímpar, |d|\le 9, e primeiro termo (87-9d)/2 |
### Resolução Seja \((a_1, a_2, \dots, a_{10})\) uma progressão aritmética de \(10\) números naturais cuja soma é \(435\). Denotemos o primeiro termo por \(a \in \mathbb{N}\) e a razão por \(d \in \mathbb{Z}\). (A razão é necessariamente… |
| 2 (Matemática) | = | -\log_2\bigl((1+\sqrt{5})/2\bigr) < x < 1 |
### Resolução O domínio da inequação é \(\mathbb{R}\), pois \(2^x + 2 > 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\). Observe que \(2^x + 2 > 2\) para todo \(x \in \mathbb{R}\), de modo que \[ \log_2(2^x + 2) > 1 > 0. \] Assim, \(|\log_2(2^x + 2)… |
| 3 (Matemática) | = | lados \sqrt{(2-\sqrt{2})/2}; r=1/16 |
### Resolução A equação dada é \(r + i z^8 = 0\), com \(r > 0\). Isolando, obtém-se \[ z^8 = ri. \] Como \(i = e^{i\pi/2}\), as oito raízes são \[ z_k = r^{1/8} \exp\Bigl(i\bigl(\tfrac{\pi}{16} + k\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr), \qquad k = 0… |
| 4 (Matemática) | = | -1 (mult. 2), 2, 3+2\sqrt{2}, 3-2\sqrt{2}, i, -i |
### Resolução Como \(q(x)\) divide \(p(x)\), as raízes de \(q(x)\) são raízes de \(p(x)\). Fatorando \(q(x)\), observa-se que \(q(2) = 0\), e a divisão de \(q(x)\) por \(x - 2\) fornece \[ q(x) = (x - 2)(x + 1)^2. \] Assim, as raízes de … |
| 5 (Matemática) | = | 5\sqrt{3}-9 |
### Resolução A elipse tem equação \(2x^2 + y^2 = 6\). Os únicos pontos dessa elipse com abscissa \(1\) são obtidos substituindo \(x = 1\): \[ 2(1)^2 + y^2 = 6 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2. \] Assim, os vértices \(A\) e \(B\) são … |
| 6 (Matemática) | = | 235 |
### Resolução Sejam as equações do sistema \begin{align*} (1)&\quad x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+3x_6=30,\\ (2)&\quad x_1+2x_2+2x_3+2x_4+2x_5+4x_6=52,\\ (3)&\quad 2x_1+2x_2+3x_3+3x_4+3x_5+7x_6=76, \end{align*} em que \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\in\… |
| 7 (Matemática) | = | -6, -4, 6, 8 |
### Resolução Sejam \(p(n) = 2n^3 - 5n^2 - 52n + 90\) e \(q(n) = n^2 - 2n - 27\). Deseja-se determinar todos os inteiros \(n\) tais que \(q(n) \neq 0\) e o quociente \(p(n)/q(n)\) seja inteiro. Efetuando a divisão de \(p\) por \(q\), ob… |
| 8 (Matemática) | = | a) 0<x\le 1 ou 9\le x<10; b) \sqrt{10} e 3\sqrt{10} |
### Solução Posicionemos o retângulo \(ABCD\) no plano cartesiano com \(A(0,0)\), \(B(10,0)\), \(C(10,6)\) e \(D(0,6)\). Seja \(E(x,0)\), onde \(0<x<10\), e seja \(F(10,y)\), onde \(0<y<6\). A única configuração em que \(EFGH\) é um ret… |
| 9 (Matemática) | = | 10 + 5\sqrt{3} |
### Resolução. Seja \(ABCDEF\) a base hexagonal regular de lado \(4\), com centro \(O\), e seja \(V\) o ápice da pirâmide reta, de modo que a altura \(VO = h\) é perpendicular à base. As faces laterais são triângulos isósceles com ângulo… |
| 10 (Matemática) | = | 3 |
### Resolução Sabemos que \(1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x\) e \(1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x\). Portanto, \[ \sqrt{1 + \cos(2x)} = \sqrt{2}\,|\cos x|, \qquad \sqrt{1 - \cos(2x)} = \sqrt{2}\,|\sin x|, \] e a função se reescreve como \[ f(x) = \sqr… |