DESEMPENHO NESTA PROVA
Gemini 3.8 Flash
Na prova ITA 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | São 10 PAs, dadas por a_1 = 3 + 9k e r = 9 - 2k, com k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}: (3, 12, \dots, 84), (12, 19, \dots, 75), (21, 26, \dots, 66), (30, 33, \dots, 57), (39, 40, \dots, 48), (48, 47, \dots, 39), (57, 54, \dots, 30), (66, 61, \dots, 21), (75, 68, \dots, 12) e (84, 75, \dots, 3). |
Seja uma progressão aritmética de 10 termos formada por números naturais: $$(a_1, a_2, \dots, a_{10})$$ onde $a_n = a_1 + (n-1)r$, com $a_n \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ para todo $n \in \{1, 2, \dots, 10\}$. Como os termos pertenc… |
| 2 (Matemática) | = | \log_2\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right) < x < 1 |
Para resolver a inequação dada, analisamos inicialmente a expressão no interior do primeiro módulo. Para todo $x \in \mathbb{R}$, temos $2^x > 0$, o que implica: $$2^x + 2 > 2$$ Como a função logarítmica na base $2$ é estritamente cresc… |
| 3 (Matemática) | = | Comprimento dos lados: \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} (ou \frac{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{2}); r = \frac{1}{16} |
Para resolver a questão, determinamos primeiro as raízes da equação dada e a geometria do polígono formado por elas no plano complexo. **1. Determinação dos vértices do polígono:** A equação é dada por: $$r + i z^8 = 0 \iff i z^8 = -r$$… |
| 4 (Matemática) | = | -1 (com multiplicidade 2), 2, i, -i, 3 + 2√2 e 3 - 2√2 |
Para determinar as raízes de $p(x)$, procedemos da seguinte forma: ### 1. Fatoração de $q(x)$ e determinação do parâmetro $a$ Fatorando o polinômio divisor $q(x) = x^3 - 3x - 2$: Testando raízes inteiras, nota-se que $q(-1) = (-1)^3 - 3(… |
| 5 (Matemática) | = | -9 + 5√3 |
Para determinar a abscissa do vértice $C$, procedemos com os seguintes passos: ### 1. Determinação dos vértices $A$ e $B$ Os vértices $A$ e $B$ pertencem à elipse $2x^2 + y^2 = 6$ e possuem abscissa igual a $1$. Substituindo $x = 1$ na e… |
| 6 (Matemática) | = | 235 |
Para resolver o sistema nas variáveis naturais $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$, definimos: $$S = x_3 + x_4 + x_5$$ Substituindo $S$ nas equações dadas, obtemos o sistema: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 + S … |
| 7 (Matemática) | = | n ∈ {-6, -4, 6, 8} |
Para que o quociente dado seja um número inteiro, efetuamos inicialmente a divisão euclidiana de polinômios entre o numerador e o denominador: Dividindo $2n^3 - 5n^2 - 52n + 90$ por $n^2 - 2n - 27$: 1. $\dfrac{2n^3}{n^2} = 2n$ $$ (2n^… |
| 8 (Matemática) | = | a) x \in (0, 1] \cup [9, 10); b) \sqrt{10} e 3\sqrt{10} |
Para resolver a questão, vamos introduzir um sistema de coordenadas cartesianas no plano do retângulo $ABCD$: * $A = (0, 0)$ * $B = (10, 0)$ * $C = (10, 6)$ * $D = (0, 6)$ Assim, temos $m(\overline{AB}) = 10$ e $m(\overline{BC}) = 6$. C… |
| 9 (Matemática) | = | 10 + 5√3 |
Para resolver a questão, analisemos a geometria da pirâmide e a seção plana determinada. ### 1. Elementos da pirâmide e identificação da face paralela Seja $V$ o vértice superior da pirâmide reta e $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6$ a base hexag… |
| 10 (Matemática) | = | 3 |
Para resolver a questão, começamos simplificando a expressão de $f(x)$ utilizando identidades trigonométricas fundamentais: $$1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) \implies \sqrt{1 + \cos(2x)} = \sqrt{2\cos^2(x)} = \sqrt{2}|\cos(x)|$$ $$1 - \cos(2x) … |