DESEMPENHO NESTA PROVA
GPT-6 Astra
Na prova ITA 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | \displaystyle \left(\frac{87-9r}{2}+kr\right)_{k=0}^{9}, com r\in\{\pm1,\pm3,\pm5,\pm7,\pm9\}. |
Sejam \(a\in\mathbb N\) o primeiro termo e \(r\in\mathbb Z\) a razão da progressão. Pela fórmula da soma dos \(10\) termos, \[ 435=\frac{10}{2}(2a+9r) \quad\Longrightarrow\quad 2a+9r=87. \] Logo, \[ a=\frac{87-9r}{2}, \] e, para que \(a\)… |
| 2 (Matemática) | ≠ | \displaystyle x\in\left[\log_2\!\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right),\,1\right]. |
Como \(2^x+2>2\), temos \(\log_2(2^x+2)>0\). Assim, a desigualdade equivale a \[ \log_2(2^x+2)\ge |2x| \iff \begin{cases} \log_2(2^x+2)\ge 2x,\\ \log_2(2^x+2)\ge -2x. \end{cases} \] Fazendo \(t=2^x>0\) e usando que a função \(2^u\) é cre… |
| 3 (Matemática) | = | lados de comprimento \sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2}} e r=\frac1{16}. |
Da equação \[ r+iz^8=0\quad\Longrightarrow\quad z^8=ir, \] obtemos as oito raízes \[ z_k=r^{1/8}\left[\cos\left(\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{4}\right) +i\sin\left(\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{4}\right)\right], \qquad k=0,1,\ldots,7. \] Assim,… |
| 4 (Matemática) | = | -1 (dupla), 2, i, -i, 3+2\sqrt2 e 3-2\sqrt2. |
Como \[ q(x)=x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2 \] divide \(p(x)\), devemos ter \(p(2)=0\). Assim, \[ 128+192a-32-80a+56-28a+18+a=0, \] isto é, \[ 170+85a=0\quad\Longrightarrow\quad a=-2. \] Substituindo esse valor em \(p(x)\), obtemos \[ p(x)=x^7-6x… |
| 5 (Matemática) | = | 5\sqrt3-9. |
Como \(A\) e \(B\) têm abscissa \(1\) e pertencem à elipse, suas ordenadas satisfazem \[ 2\cdot1^2+y^2=6\implies y=\pm2. \] Assim, podemos tomar \(A=(1,2)\) e \(B=(1,-2)\), de modo que \(AB=4\). Como o perímetro de \(ABC\) é \(10\), temo… |
| 6 (Matemática) | = | 235. |
Sejam \(E_1,E_2,E_3\) as três equações, na ordem apresentada. Combinando-as, obtemos \[ \begin{aligned} 2E_1-E_2&:\quad x_1+2x_6=8,\\ E_1+E_2-E_3&:\quad x_2=6,\\ E_3-2E_1&:\quad x_3+x_4+x_5+x_6=16. \end{aligned} \] Essas relações formam u… |
| 7 (Matemática) | = | n\in\{-6,-4,6,8\}. |
Efetuando a divisão polinomial, obtemos \[ 2n^3-5n^2-52n+90=(2n-1)(n^2-2n-27)+63. \] Logo, \[ \frac{2n^3-5n^2-52n+90}{n^2-2n-27} =2n-1+\frac{63}{n^2-2n-27}. \] Para \(n\) inteiro, o denominador não se anula, pois \[ n^2-2n-27=0\iff(n-1)^… |
| 8 (Matemática) | = | a) x\in(0,1]\cup[9,10); b) \sqrt{10} e 3\sqrt{10}. |
Adote \(A=(0,0)\), \(B=(10,0)\), \(C=(10,6)\) e \(D=(0,6)\). Escreva \[ E=(x,0),\qquad F=(10,y),\qquad 0<x<10,\quad 0<y<6. \] Como \(G\in\overline{CD}\), \(H\in\overline{DA}\) e as diagonais do retângulo \(EFGH\) têm o mesmo ponto médio, … |
| 9 (Matemática) | = | 10+5\sqrt3. |
Sejam \(S\) o vértice da pirâmide, \(ABCDEF\) os vértices consecutivos da base e \(O\) seu centro. Por simetria, podemos considerar a seção que passa pela diagonal \(AD\) e é paralela à face \(SBC\). Sejam \(M\) e \(N\) os pontos médios … |
| 10 (Matemática) | = | k=3. |
Pelas identidades \(1+\cos(2x)=2\cos^2x\) e \(1-\cos(2x)=2\sen^2x\), temos \[ f(x)=\sqrt2\bigl(|\cos x|+|\sen x|\bigr)-\sen x-\cos x. \] **No primeiro quadrante**, \(\sen x>0\) e \(\cos x>0\). Assim, \[ f(x)=(\sqrt2-1)(\sen x+\cos x). \]… |