DESEMPENHO NESTA PROVA
Claude Sonnet 5.5
Na prova ITA 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | As PAs satisfazem 2a₁ + 9r = 87 com r ímpar e −9 ≤ r ≤ 9. Há 10 PAs: (a₁, r) = (39,1), (30,3), (21,5), (12,7), (3,9) e as inversas (48,−1), (57,−3), (66,−5), (75,−7), (84,−9). |
**Montagem.** Seja a PA (a₁, a₂, …, a₁₀) com primeiro termo a e razão r. Como todos os termos são naturais, a é natural e r = a₂ − a₁ é inteiro. A soma é S = (2a + 9r)·10/2 = 5(2a + 9r) = 435, ou seja, **2a + 9r = 87**. **Condição de pa… |
| 2 (Matemática) | = | x ∈ ( log₂((√5 − 1)/2) , 1 ) |
**Simplificação.** Para todo x real, 2ˣ + 2 > 2, logo log₂(2ˣ + 2) > 1 > 0. Então |log₂(2ˣ + 2)| = log₂(2ˣ + 2), e a inequação fica log₂(2ˣ + 2) > |2x|. Seja t = 2ˣ > 0. Como log₂ é crescente, analisamos dois casos. **Caso 1: x ≥ 0.** … |
| 3 (Matemática) | = | lado = √(2−√2)/√2 = √(4−2√2)/2 (= √(1−√2/2)); r = 1/16 |
Da equação r + i z⁸ = 0 obtemos z⁸ = −r/i = r·i (pois −1/i = i). Logo |z|⁸ = r, ou seja, |z| = r^(1/8) = ρ. As oito raízes têm o mesmo módulo ρ e argumentos espaçados de 2π/8 = π/4. Os vértices formam, portanto, um octógono regular inscr… |
| 4 (Matemática) | = | a = −2; raízes de p(x): −1 (dupla), 2, i, −i, 3 + 2√2, 3 − 2√2 |
**Passo 1: fatorar q(x).** q(x) = x³ − 3x − 2 = (x + 1)²(x − 2), com raízes −1 (dupla) e 2. **Passo 2: determinar a.** Como q divide p, temos p(2) = 0 e p(−1) = 0. - p(2) = 128 + 192a − 32 − 80a + 56 − 28a + 18 + a = 170 + 85a = 0, logo… |
| 5 (Matemática) | = | 5√3 − 9 |
**Preparação.** A elipse é x²/3 + y²/6 = 1. Para x = 1 temos y² = 4, logo A = (1, 2) e B = (1, −2), e m(AB) = 4. Como o perímetro é 10, temos CA + CB = 6. **Cálculo.** Seja C = (x, y), com y² = 6 − 2x². Então CA² = (x−1)² + (y−2)² = x²… |
| 6 (Matemática) | = | 235 |
**Resolução** Aqui ℕ = {1, 2, 3, …}, portanto todas as variáveis são inteiros maiores ou iguais a 1. Numeramos as equações (1), (2) e (3), nessa ordem. **Simplificando o sistema** - (2) − (1) dá x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ = 22. - (3) − 2·… |
| 7 (Matemática) | = | n ∈ {−6, −4, 6, 8} |
**Desenvolvimento** Dividindo o numerador pelo denominador: 2n³ − 5n² − 52n + 90 = (n² − 2n − 27)(2n − 1) + 63 Conferindo: (n² − 2n − 27)(2n − 1) = 2n³ − n² − 4n² + 2n − 54n + 27 = 2n³ − 5n² − 52n + 27, e somando 63 obtém-se o numerado… |
| 8 (Matemática) | = | a) x ∈ (0,1] ∪ [9,10); b) os lados medem √10 e 3√10. |
**Montagem.** Seja A=(0,0), B=(10,0), C=(10,6), D=(0,6). Tomamos E=(x,0) com 0<x<10 e F=(10,y) com 0<y<6. Os vértices G e H ficam sobre CD e DA, respectivamente. O vetor EF é (10−x, y). O lado FG é perpendicular a EF, então FG tem direçã… |
| 9 (Matemática) | = | 10 + 5√3 |
**Montagem.** Seja A B C D E F o hexágono regular de lado 4 e centro O. Colocamos O na origem, com A = (4,0,0), B = (2, 2√3, 0), C = (−2, 2√3, 0), D = (−4,0,0), E = (−2, −2√3, 0), F = (2, −2√3, 0). O vértice da pirâmide é V = (0,0,h). **… |
| 10 (Matemática) | = | k = 3 |
**Simplificando f.** Como √(1 + cos 2x) = √(2cos²x) = √2·|cos x| e √(1 − cos 2x) = √(2sen²x) = √2·|sen x|, temos f(x) = √2(|sen x| + |cos x|) − (sen x + cos x). **1º quadrante** (sen x ≥ 0 e cos x ≥ 0): f(x) = (√2 − 1)(sen x + cos x).… |