DESEMPENHO NESTA PROVA
GPT-6 Luna
Na prova ITA 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | as 10 progressões listadas acima. |
Sejam \(a\) o primeiro termo e \(d\) a razão da progressão. A soma dos 10 termos é \[ \frac{10}{2}\bigl(2a+9d\bigr)=435, \] logo \[ 2a+9d=87. \] Como \(a\) é natural, \(d\) é inteiro e deve ser ímpar. Além disso, os extremos \(a\) e \(a+9… |
| 2 (Matemática) | = | \displaystyle \log_2\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right)<x<1. |
Como \(2^x+2>2\), temos \(\log_2(2^x+2)>0\), logo \[ \left|\log_2(2^x+2)\right|=\log_2(2^x+2). \] **Se \(x\ge 0\):** \[ \log_2(2^x+2)>2x \iff 2^x+2>2^{2x}. \] Tomando \(y=2^x\ge1\), isso equivale a \[ y^2-y-2<0 \iff (y-2)(y+1)<0. \] Assi… |
| 3 (Matemática) | = | lado =\sqrt{1-\frac{\sqrt2}{2}}; r=\frac1{16}. |
Da equação \[ r+iz^8=0 \] segue que \(z^8=ir\). Assim, as oito raízes estão igualmente espaçadas em uma circunferência de raio \(R=r^{1/8}\), formando um octógono regular. A área do octógono é a soma das áreas dos oito triângulos isóscel… |
| 4 (Matemática) | = | 2,\ -1 (multiplicidade 2), i,\ -i,\ 3+2\sqrt2,\ 3-2\sqrt2. |
Como \[ q(x)=x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2, \] a divisibilidade implica, em particular, que \(p(2)=0\). Calculando, \[ p(2)=170+85a, \] logo \(a=-2\). Substituindo esse valor e fatorando, obtemos \[ p(x)=x^7-6x^6-x^5+10x^4+7x^3+14x^2+9x-2 =(x-2)… |
| 5 (Matemática) | = | -9+5\sqrt3. |
Como \(A\) e \(B\) pertencem à elipse \(2x^2+y^2=6\) e têm abscissa \(1\), seus ordenados são \(2\) e \(-2\). Logo, \[ A=(1,2),\qquad B=(1,-2),\qquad AB=4. \] Do perímetro do triângulo, \(AC+BC=10-4=6\). Assim, \(C\) pertence à elipse de… |
| 6 (Matemática) | = | 235 sextuplas ordenadas. |
Seja \(t=x_6\) e \(S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\). A primeira equação dá \[ S+3t=30 \quad\Longrightarrow\quad S=30-3t. \] Na segunda equação, escrevendo o lado esquerdo como \(2S-x_1+4t\), obtemos \[ 2S-x_1+4t=52 \quad\Longrightarrow\quad x_1=8… |
| 7 (Matemática) | = | n\in\{-6,-4,6,8\}. |
Fazendo a divisão dos polinômios, \[ 2n^3-5n^2-52n+90 =(2n-1)(n^2-2n-27)+63. \] Logo, \[ \frac{2n^3-5n^2-52n+90}{n^2-2n-27} =2n-1+\frac{63}{n^2-2n-27}. \] Como \(2n-1\) é inteiro, o quociente será inteiro se, e somente se, \[ n^2-2n-2… |
| 8 (Matemática) | = | a) x\in(0,1]\cup[9,10); b) \sqrt{10} e 3\sqrt{10}. |
### a) Tomemos \(A=(0,0)\), \(B=(10,0)\), \(C=(10,6)\) e \(D=(0,6)\). Escrevendo \[ E=(x,0),\quad F=(10,y),\quad G=(u,6),\quad H=(0,v), \] o fato de \(EFGH\) ser um paralelogramo implica \(E+G=F+H\), logo \(u=10-x\) e \(v=6-y\). Como la… |
| 9 (Matemática) | = | 10+5\sqrt3. |
Sejam \(O\) o centro da base e \(S\) o vértice da pirâmide. Como a base é um hexágono regular de lado \(4\), a distância de \(O\) a qualquer vértice da base também é \(4\). Se \(l\) é a aresta lateral, a lei dos cossenos em uma face late… |
| 10 (Matemática) | = | k=3. |
Como \[ 1+\cos(2x)=2\cos^2x \quad\text{e}\quad 1-\cos(2x)=2\sen^2x, \] temos \[ f(x)=\sqrt2\bigl(|\cos x|+|\sen x|\bigr)-\sen x-\cos x. \] No primeiro quadrante, \(\sen x,\cos x>0\), logo \[ f(x)=(\sqrt2-1)(\sen x+\cos x). \] Nesse quadr… |