DESEMPENHO NESTA PROVA
Claude Opus 5.5
Na prova ITA 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | As P.A. são as que satisfazem 2a_1+9r=87, com r ímpar e |r|\le 9. As crescentes são (a_1,r)=(39,1),(30,3),(21,5),(12,7),(3,9), ou seja, 39,…,48; 30,…,57; 21,…,66; 12,…,75; 3,…,84. As decrescentes são essas mesmas sequências em ordem inversa, com r=-1,-3,-5,-7,-9. Total de 10 progressões. |
**Montagem da equação** Seja a progressão aritmética $(a_1, a_1+r, \dots, a_1+9r)$, com todos os termos naturais. Então $a_1\in\mathbb N$ e $r\in\mathbb Z$, pois $r=a_2-a_1$ é diferença de inteiros. A soma dos 10 termos é $$S=\frac{10\,… |
| 2 (Matemática) | = | \log_2\!\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right) < x < 1 |
**Substituição.** Seja $t = 2^x > 0$. Como $t + 2 > 2$, temos $\log_2(t+2) > 1 > 0$. Logo o lado esquerdo é simplesmente $\log_2(2^x+2)$. Além disso, $|2x| = |\log_2(t^2)|$. **Caso 1: $x \ge 0$, ou seja, $t \ge 1$.** Aqui $|2x| = 2x =… |
| 3 (Matemática) | = | lado =\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt2}}{2} (ou seja, \sqrt{1-\frac{\sqrt2}{2}}) e r=\dfrac{1}{16} |
**Raízes da equação** $$r + iz^8 = 0 \;\Longrightarrow\; z^8 = -\frac{r}{i} = ri.$$ Como $|ri| = r$, todas as raízes têm módulo $R = r^{1/8}$. As oito raízes oitavas de $ri$ são os vértices de um octógono regular inscrito na circunferên… |
| 4 (Matemática) | = | a = −2; raízes: −1 (dupla), 2, i, −i, 3 + 2√2, 3 − 2√2 |
**Fatoração de q(x).** Como q(−1) = −1 + 3 − 2 = 0, temos q(x) = x³ − 3x − 2 = (x + 1)²(x − 2). Logo −1 é raiz dupla de q(x) e 2 é raiz simples. Como q(x) divide p(x), essas raízes também são raízes de p(x), com pelo menos a mesma multi… |
| 5 (Matemática) | = | x_C = 5\sqrt{3}-9 |
**Elementos da elipse:** $$2x^2+y^2=6 \iff \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{6}=1,$$ logo $|x|\le\sqrt3$ para qualquer ponto da curva. **Vértices A e B:** com $x=1$, temos $y^2=6-2=4$, ou seja, $y=\pm2$. Então $A=(1,2)$ e $B=(1,-2)$, e $m(\overli… |
| 6 (Matemática) | = | 235 |
**Montando o sistema** Seja $T = x_3+x_4+x_5$. As equações ficam: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 + T + 3x_6 = 30 \quad (1)\\ x_1 + 2x_2 + 2T + 4x_6 = 52 \quad (2)\\ 2x_1 + 2x_2 + 3T + 7x_6 = 76 \quad (3) \end{cases} $$ **Resolvendo** - Fa… |
| 7 (Matemática) | = | n\in\{-6,\,-4,\,6,\,8\} |
**Divisão de polinômios** Dividimos o numerador pelo denominador: - $2n\cdot(n^2-2n-27)=2n^3-4n^2-54n$. Subtraindo do numerador, sobra $-n^2+2n+90$. - $-1\cdot(n^2-2n-27)=-n^2+2n+27$. Subtraindo, sobra o resto $63$. Logo $$\frac{2n^3-5… |
| 8 (Matemática) | = | a) 0 < x ≤ 1 ou 9 ≤ x < 10; b) 3√10 e √10 |
**Montagem.** Coloco A = (0,0), B = (10,0), C = (10,6) e D = (0,6). Os vértices de EFGH ficam assim: - E = (x, 0) sobre AB, com 0 < x < 10; - F = (10, y) sobre BC, com 0 < y < 6; - H = (0, h) sobre DA e G = (g, 6) sobre CD. Como EFGH é … |
| 9 (Matemática) | = | 10 + 5√3 |
**Comprimento da aresta lateral** A base é um hexágono regular de lado 4. Cada face lateral é um triângulo isósceles com base 4 e ângulo do ápice π/6. Sendo L a aresta lateral: $$4 = 2L\sin 15^\circ \;\Rightarrow\; L=\frac{2}{\sin15^\ci… |
| 10 (Matemática) | = | k = 3 |
Escrevemos f usando valores absolutos e analisamos cada quadrante separadamente. **Simplificação de f** Como 1 + cos(2x) = 2cos²x e 1 − cos(2x) = 2sen²x, temos $$\sqrt{1+\cos 2x}=\sqrt2\,|\cos x|,\qquad \sqrt{1-\cos 2x}=\sqrt2\,|\opera… |