DESEMPENHO NESTA PROVA
Gemini 4 Argon
Na prova ITA 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | São 10 progressões aritméticas, dadas por (a₁, r) ∈ {(39, 1), (30, 3), (21, 5), (12, 7), (3, 9), (48, -1), (57, -3), (66, -5), (75, -7), (84, -9)} (ou seja, (39, 40, ..., 48), (30, 33, ..., 57), (21, 26, ..., 66), (12, 19, ..., 75), (3, 12, ..., 84) e suas respectivas sequências inversas). |
Seja $(a_1, a_2, \dots, a_{10})$ uma progressão aritmética (P.A.) de $10$ termos, com primeiro termo $a_1$ e razão $r$. Pelas convenções adotadas, todos os termos devem pertencer a $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$. Assim, $a_1 \in \mat… |
| 2 (Matemática) | = | ]log₂(√5 - 1) - 1, 1[ |
Para determinar todos os valores reais de $x$ que satisfazem a inequação $|\log_2(2^x + 2)| > |2x|$, observemos inicialmente o comportamento do logaritmando. Para todo $x \in \mathbb{R}$, temos $2^x > 0$, o que implica: $$2^x + 2 > 2$$ … |
| 3 (Matemática) | = | O comprimento dos lados é √(4 - 2√2)/2 e r = 1/16. |
Para determinar o comprimento dos lados do polígono e o valor de $r$, analisamos primeiramente as raízes da equação dada no plano complexo: $$r + iz^8 = 0 \implies iz^8 = -r \implies z^8 = -\frac{r}{i} = ri$$ Como $r$ é um número real po… |
| 4 (Matemática) | = | -1, 2, i, -i, 3 + 2√2, 3 - 2√2 |
Para determinar todas as raízes de $p(x)$, inicialmente encontramos as raízes do polinômio divisor $q(x) = x^3 - 3x - 2$. Notamos por inspeção que $x = -1$ é raiz de $q(x)$, pois $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. Dividindo $q(x)$ p… |
| 5 (Matemática) | = | 5√3 - 9 |
Para determinar a abscissa do vértice $C$, primeiramente encontramos as coordenadas dos vértices $A$ e $B$. Sabendo que ambos pertencem à elipse de equação $2x^2 + y^2 = 6$ e possuem abscissa $x = 1$, substituímos esse valor na equação da… |
| 6 (Matemática) | = | 235 |
Para determinar a quantidade de sêxtuplas ordenadas de números naturais $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)$ que satisfazem o sistema, observamos inicialmente que, pelas convenções da prova, $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$, ou seja, $x_i \g… |
| 7 (Matemática) | = | -6, -4, 6, 8 |
Para determinar todos os valores inteiros de $n$ tais que a fração dada seja um número inteiro, realizamos inicialmente a divisão polinomial do numerador pelo denominador: $$2n^3 - 5n^2 - 52n + 90 = (2n - 1)(n^2 - 2n - 27) + 63$$ Dessa … |
| 8 (Matemática) | = | a) (0, 1] U [9, 10); b) √10 e 3√10 |
**a)** Como o retângulo $EFGH$ está inscrito no retângulo $ABCD$, com $E \in \overline{AB} \setminus \{A, B\}$ e $F \in \overline{BC} \setminus \{B, C\}$, os vértices $G$ e $H$ pertencem, respectivamente, aos lados $\overline{CD}$ e $\ove… |
| 9 (Matemática) | = | 10 + 5√3 |
Seja $VABCDEF$ a pirâmide reta de vértice $V$ e base hexagonal regular $ABCDEF$ de centro $O$ e lado $\ell = 4$. **1. Posição da seção plana:** Seja $\alpha$ o plano secante que contém uma diagonal maior da base, digamos $\overline{AD}$,… |
| 10 (Matemática) | = | k = 3 |
Para determinar os valores inteiros de $k$, vamos inicialmente simplificar a expressão da função $f(x)$. Utilizando as identidades trigonométricas do arco duplo, temos: $$1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$$ $$1 - \cos(2x) = 2\text{sen}^2(x)$$ … |