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Na prova ITA 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | as 10 progressões são as listadas acima, com razão r\in\{-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9\} e primeiro termo a_1=(87-9r)/2. |
Seja \((a_1,a_2,\ldots,a_{10})\) uma PA de primeiro termo \(a_1=a\) e razão \(r\). Como todos os termos são naturais, \(r\in\mathbb Z\). A soma dos 10 termos é \[ \frac{10(a_1+a_{10})}{2}=5(2a+9r)=435. \] Logo, \[ 2a+9r=87 \quad\Rightarr… |
| 2 (Matemática) | = | \displaystyle \left(\log_2\!\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right),\,1\right) |
Seja \(x\in\mathbb R\). Como \(2^x+2>2>1\), temos \[ \log_2(2^x+2)>0, \] logo \[ \left|\log_2(2^x+2)\right|=\log_2(2^x+2). \] Assim, a inequação equivale a \[ \log_2(2^x+2)>2|x|. \] Separamos em dois casos. ### 1) \(x\ge 0\) Neste caso,… |
| 3 (Matemática) | = | comprimento dos lados =\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2}}; r=\frac1{16}. |
A equação é \[ r+iz^8=0 \quad\Rightarrow\quad z^8=-\frac r i=ir=r e^{i\pi/2}. \] Assim, as oito raízes são \[ z_k=r^{1/8}e^{i\left(\frac{\pi/2+2k\pi}{8}\right)} =r^{1/8}e^{i\left(\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{4}\right)},\qquad k=0,1,\dots,… |
| 4 (Matemática) | = | a=-2; raízes: -1 (dupla), 2, i, -i, 3+2\sqrt2, 3-2\sqrt2. |
Como \(q(x)=x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2\), para que \(p(x)\) seja divisível por \(q(x)\), devemos ter \[ p(2)=0 \quad \text{e} \quad p(-1)=0. \] Calculando \(p(2)\): \[ \begin{aligned} p(2)&=2^7+3a\cdot2^6-2^5-5a\cdot2^4+7\cdot2^3-7a\cdot2^2+9… |
| 5 (Matemática) | = | -9+5\sqrt3 |
Sejam \(A\) e \(B\) os vértices de abscissa \(1\). Da equação da elipse, \[ 2x^2+y^2=6, \] para \(x=1\), temos \[ 2+y^2=6 \Rightarrow y^2=4 \Rightarrow y=\pm 2. \] Assim, sem perda de generalidade, tome \[ A=(1,2),\qquad B=(1,-2). \] Logo… |
| 6 (Matemática) | = | 235 |
Sejam \[ S=x_2+x_3+x_4+x_5,\qquad P=x_3+x_4+x_5,\qquad z=x_6. \] O sistema é \[ \begin{cases} x_1+S+3z=30,\\ x_1+2S+4z=52,\\ 2x_1+2x_2+3x_3+3x_4+3x_5+7z=76. \end{cases} \] Subtraindo a primeira equação da segunda: \[ S+z=22 \quad\Right… |
| 7 (Matemática) | = | n\in\{-6,\,-4,\,6,\,8\} |
Efetuando a divisão do polinômio do numerador pelo do denominador: \[ \frac{2n^3-5n^2-52n+90}{n^2-2n-27} \] Temos \[ (2n-1)(n^2-2n-27)=2n^3-4n^2-54n-n^2+2n+27=2n^3-5n^2-52n+27. \] Logo, \[ 2n^3-5n^2-52n+90=(2n-1)(n^2-2n-27)+63. \] P… |
| 8 (Matemática) | = | a) 0<x\le1 ou 9\le x<10; b) \sqrt{10} e 3\sqrt{10}. |
Seja \(ABCD\) com coordenadas \[ A=(0,0),\quad B=(10,0),\quad C=(10,6),\quad D=(0,6). \] Como \(E\in \overline{AB}\), escrevemos \[ E=(x,0),\qquad 0<x<10. \] Como \(F\in \overline{BC}\), escrevemos \[ F=(10,y),\qquad 0<y<6. \] Para o ret… |
| 9 (Matemática) | = | 10+5\sqrt3. |
Seja a pirâmide reta de base hexagonal regular de lado \(4\), centro \(O\), vértice \(S\), altura \(h\). Num hexágono regular de lado \(4\), o raio da circunferência circunscrita é \(4\), logo a diagonal maior mede \(8\). ### 1. Altura… |
| 10 (Matemática) | = | k=3 |
Usando as identidades: \[ 1+\cos 2x=2\cos^2x,\qquad 1-\cos 2x=2\sin^2x, \] temos \[ \sqrt{1+\cos 2x}=\sqrt2|\cos x|,\qquad \sqrt{1-\cos 2x}=\sqrt2|\sin x|. \] Logo \[ f(x)=\sqrt2\bigl(|\cos x|+|\sin x|\bigr)-\sin x-\cos x. \] **1) Se \(x… |