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levou 8 s
Como pensou
Para ser invertível, a função precisa ser injetiva: valores distintos de x devem produzir imagens distintas.
Nas alternativas A, B e D, os intervalos contêm 0 e 1. Porém,
f(0)=-2 \quad\text{e}\quad f(1)=-2,
o que impede a injetividade.
Já em [1,2], a função é estritamente crescente, pois a parábola tem concavidade para cima e vértice em x=\frac12. Assim, nesse intervalo, ela é injetiva e, tomando B=f([1,2])=[-2,0], é bijetiva e admite inversa.
Resposta: C
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levou 9 s
Como pensou
Para ser invertível, a função deve ser injetiva, ou seja, valores distintos de x devem ter imagens distintas.
Nas alternativas A, B e D, os intervalos contêm 0 e 1. Como
f(0)=-2 \quad\text{e}\quad f(1)=1-1-2=-2,
a função não é injetiva nesses domínios.
Já no intervalo [1,2], a função é estritamente crescente, pois esse intervalo está à direita do vértice da parábola, cuja abscissa é
x_v=\frac{-(-1)}{2\cdot1}=\frac12.
Assim, tomando B=f([1,2])=[-2,0], a função é bijetiva e, portanto, invertível.
Resposta: C
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levou 4 s
Como pensou
A função f(x)=x^2-x-2 é uma parábola com vértice em x=\frac12. Ela é estritamente crescente para x>\frac12, portanto é injetora no intervalo [1,2].
Nas demais alternativas, os intervalos incluem pontos dos dois lados do vértice, e a função pode assumir o mesmo valor em pontos distintos. Por exemplo, f(0)=f(1)=-2.
Resposta: C
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levou 4 s
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A função f(x) = x² − x − 2 é uma parábola com vértice em x = 1/2. Para que f seja invertível (bijetora de A em B), precisa ser injetora em A, ou seja, A deve estar contido em um dos intervalos onde f é monótona: (−∞, 1/2] ou [1/2, +∞).
Analisando as alternativas:
- a) [0,2]: contém o vértice 1/2; f(0) = −2 e f(1) = −2 → não injetora.
- b) [−1,2]: contém 1/2; f(0) = f(1) → não injetora.
- c) [1,2]: está contido em [1/2, +∞), onde f é estritamente crescente → injetora, logo invertível (com B = f([1,2]) = [−2, 0]).
- d) [−2,1]: contém 1/2; f(0) = f(1) → não injetora.
Resposta: C
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levou 4 s
Como pensou
The vertex of f(x)=x²-x-2 is at x=1/2, so the function is only injective on intervals that don't contain 1/2 in their interior. Checking the options, [1,2] satisfies this since 1/2 lies outside it, while the others straddle the vertex—so the answer is C.
Raciocínio
Para f: A → B ser invertível, ela precisa ser injetora em A. Também precisa ser sobrejetora, mas isso se garante escolhendo B = f(A).
A função f(x) = x² − x − 2 é uma parábola com concavidade para cima. O vértice está em x = −b/(2a) = 1/2. Ela é decrescente para x < 1/2 e crescente para x > 1/2. Portanto, só é injetora em intervalos que não tenham 1/2 no interior.
Análise das alternativas:
- a) [0,2]: contém 1/2 no interior. Por exemplo, f(0) = −2 = f(1). Não é injetora.
- b) [−1,2]: contém 1/2 no interior. Por exemplo, f(−1) = 0 = f(2). Não é injetora.
- c) [1,2]: está inteiramente à direita do vértice, onde f é estritamente crescente. É injetora e, com B = [f(1), f(2)] = [−2, 0], é invertível.
- d) [−2,1]: contém 1/2 no interior. Por exemplo, f(0) = f(1) = −2. Não é injetora.
Resposta: C
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levou 3 s
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A função f(x) = x² − x − 2 é uma parábola com vértice em x = 1/2. Ela só é invertível (injetora, tomando B como a imagem) em um intervalo que fique inteiramente de um lado do vértice, isto é, em que ela seja estritamente monótona.
Analisando cada alternativa:
- a) [0, 2] contém 1/2 no interior. Como f(0) = −2 e f(1) = −2, a função não é injetora.
- b) [−1, 2] contém 1/2. Como f(−1) = 0 e f(2) = 0, não é injetora.
- c) [1, 2] fica à direita de 1/2, onde f é estritamente crescente. Logo, é injetora e, com B = [f(1), f(2)] = [−2, 0], é invertível.
- d) [−2, 1] contém 1/2. Como f(0) = f(1) = −2, não é injetora.
Portanto, a única possibilidade é [1, 2].
Resposta: C
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levou 34 s
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The problem is in Portuguese. I will translate it.
The question asks which interval could be the domain A for an invertible function f(x) = x² - x - 2. The options are [0,2], [-1,2], [1,2], and [-2,1]. For a function to be invertible it must be bijective.
Since the codomain B is unspecified, we can choose it as the image of f. The function must be injective on A to be invertible.
The function is a parabola opening upward with vertex at x = 1/2. It decreases on (-∞, 1/2] and increases on [1/2, ∞). For injectivity, A must lie entirely in one of these monotonic intervals.
Checking the options against injectivity. [0,2] contains 0 and 1, both mapping to -2. [-1,2] contains -1 and 2, both mapping to 0. Neither interval is injective.
Option c) [1,2] is injective because it lies entirely to the right of the vertex and f is increasing there. Option d) [-2,1] is not injective: points 0 and 1 both map to -2.
A função f(x)=x^2-x-2 é uma parábola com concavidade para cima e vértice em x=1/2. Assim, f é estritamente decrescente em (-\infty,1/2] e estritamente crescente em [1/2,+\infty).
Para que f:A\to B seja invertível, ela precisa ser bijetora e, em particular, injetora. Como o contradomínio B pode ser tomado como a imagem de A, a condição decisiva é a injetividade de f em A. Isso ocorre precisamente quando A está contido em um dos intervalos de monotonicidade.
- Em [0,2] tem-se f(0)=f(1), logo f não é injetora.
- Em [-1,2] tem-se f(-1)=f(2), logo f não é injetora.
- Em [1,2] o intervalo está inteiramente à direita do vértice, onde f é estritamente crescente; portanto f é injetora (e torna-se bijetora ao se escolher B=f([1,2])).
- Em [-2,1] tem-se f(0)=f(1), logo f não é injetora.
A única possibilidade entre as alternativas é, portanto, o conjunto [1,2].
Resposta: C
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levou 8 s
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We need answer in Portuguese. Need solve. Let's restate. Sejam A,B subconjuntos de R. Considere função f: A -> B, f(x)=x^2 - x - 2, com x in A. Considerando que essa função é invertível, qual alternativas indica possibilidade para conjunto A? Options: a) [0,2], b) [-1,2], c) [1,2], d) [-2,1].
Need determine subset A such that f restricted to A is invertible (injective? A function invertible if injective on domain, with codomain B maybe image? Since B arbitrary subset R? If f: A->B invertible means f is bijective onto B. For existence of B, need f injective on A, then choose B=f(A). So condition: f restricted to A is injective. Quadratic f(x)=x^2-x-2 = (x-2)(x+1)? Actually x^2 - x -2 = (x-2)(x+1). Parabola opens upward, vertex at x=1/2, value = 1/4 -1/2 -2? Compute vertex: x=1/2, f=1/4 -1/2 -2 = -9/4? 0.25 -0.5 -2 = -2.25 = -9/4. Axis of symmetry x=1/2. Function is strictly decreasing on (-∞, 1/2] and strictly increasing on [1/2, ∞). For injective on interval, interval must not contain points symmetric around vertex? Actually a continuous function on interval is injective iff strictly monotonic on that interval (for interval domain). So A must be subset of (-∞,1/2] or [1/2, ∞) or maybe not interval? Options are closed intervals. Check options:
a [0,2] contains vertex 0.5, not monotonic entire? On [0,2], decreases from x=0 to 0.5 then increases, not injective (f(0)= -2, f(1)= -2? f(0)=-2, f(1)=-2 yes not injective).
b [-1,2] contains 0.5, not injective.
c [1,2] is entirely right of vertex (1 ≥ 1/2), increasing, injective.
d [-2,1] contains 0.5? Interval [-2,1] includes 0.5, not injective (decreases then increases). So only c.
Need ensure invertible if A=[1,2], B maybe [f(2), f(1)]? f(1)=1-1-2=-2, f(2)=4-2-2=0, increasing maps to [-2,0]? B could be [-2,0]. Invertible yes.
Need explain. Final line "Resposta: C". Need include reasoning in Portuguese.
Let's craft concise. Maybe mention derivada? For quadratic, monotonic intervals. We can show f not injective on intervals containing 1/2 by counterexamples. For c, f'(x)=2x-1 >0 for x>1/2, so strictly increasing on [1,2], hence injective. Therefore invertible (with appropriate B).
Alternative: Complete square: f(x)=(x-1/2)^2 - 9/4. Symmetric about x=1/2. Any interval containing points equidistant from 1/2 gives same value. Options a, b, d contain 1/2 and also pairs? a contains 0 and 1? Both in [0,2], f(0)=-2=f(1). b contains 0 and 1, f equal. d contains 0 and 1? [-2,1] includes 0 and 1, yes equal. c does not include both? [1,2] only x≥1, no symmetric pair? Actually if x1,x2 in [1,2] and f(x1)=f(x2), since parabola symmetric and both greater than 1/2, x1=x2. Good.
Need final.
A função quadrática f(x)=x^2-x-2 tem eixo de simetria em x=\frac12, pois
f(x)=\left(x-\frac12\right)^2-\frac94.
Assim, ela é estritamente decrescente em \left(-\infty,\frac12\right] e estritamente crescente em \left[\frac12,+\infty\right).
Para que f:A\to B seja invertível, ela precisa ser injetora em A. Portanto, o conjunto A não pode conter dois valores distintos equidistantes de \frac12, pois teriam a mesma imagem.
Analisando as alternativas:
- a) [0,2] contém 0 e 1, e f(0)=f(1)=-2, logo não é injetora.
- b) [-1,2] também contém 0 e 1, logo não é injetora.
- c) [1,2] está totalmente à direita de \frac12, onde f é estritamente crescente; portanto, é injetora.
- d) [-2,1] contém 0 e 1, logo não é injetora.
Assim, a única alternativa que garante a invertibilidade é a letra c.
Resposta: C
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levou 9 s
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**Exploring Function Invertibility**
I'm currently analyzing the invertibility of the given quadratic function, $f(x) = x^2 - x - 2$. My focus is on determining the conditions for $A$ and $B$ that would make this function bijective, which is crucial for its inverse to exist.
**Defining Domain Constraints**
I'm now focusing on defining the specific domain constraints for the quadratic function. My analysis indicates that for invertibility, the domain must lie entirely on one side of the parabola's vertex, $x_v = 0.5$. I am evaluating the provided interval options to identify which satisfy this condition.
Para que a função f: A \to B seja invertível, ela deve ser bijetora e, portanto, necessariamente injetora.
A função dada é uma função quadrática:
f(x) = x^2 - x - 2
O gráfico dessa função é uma parábola com concavidade voltada para cima, cujo vértice ocorre em:
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}
Assim:
- No intervalo (-\infty, 1/2], a função é estritamente decrescente.
- No intervalo [1/2, \infty), a função é estritamente crescente.
Para que f seja injetora em um intervalo contínuo, esse intervalo não pode conter o vértice x = 1/2 em seu interior, devendo estar inteiramente contido em (-\infty, 1/2] ou em [1/2, \infty).
Analisando as alternativas:
- a) [0, 2]: contém x = 1/2 no seu interior (por exemplo, f(0) = f(1) = -2). Logo, não é injetora.
- b) [-1, 2]: contém x = 1/2 no seu interior. Logo, não é injetora.
- c) [1, 2]: está totalmente contido em [1/2, \infty), pois todos os seus valores são estritamente maiores que 1/2. Portanto, a função é estritamente crescente e injetora nesse intervalo. Escolhendo B como a imagem desse conjunto, f torna-se bijetora e, consequentemente, invertível.
- d) [-2, 1]: contém x = 1/2 no seu interior. Logo, não é injetora.
Portanto, a única alternativa viável para o conjunto A é [1, 2].
Resposta: C
