IA ao vivo / IME 2027 · 2ª fase · Física

COMPARE OS RACIOCÍNIOS

Questão 8 (Física)

Questão discursiva: a banca não divulga gabarito oficial. ← 7 (Física) 9 (Física) →

A questão

Resposta de referência

Pela equação da rede, \sin\theta_m=m/4, e a posição de cada máximo é y_m=D\tan\theta_m. a) Afastando-se da rede, pois o aumento de D faz os máximos saírem pelas bordas. b) Na saída das ordens \pm3, D(t_1)=0{,}2\sqrt7\approx0{,}53\,\text{m}. c) Na saída das ordens \pm2, D_2=0{,}6\sqrt3\,\text{m}; assim, v=(0{,}6\sqrt3-0{,}2\sqrt7)/2\approx0{,}254\,\text{m/s}. d) Na saída das ordens \pm1, D_f=0{,}6\sqrt{15}\,\text{m}; logo, \Delta s=0{,}6\sqrt{15}-0{,}2\sqrt7\approx1{,}79\,\text{m}.

Segundo a resolução dos cursinhos Farias Brito e Poliedro. A banca não publica gabarito das questões discursivas.

Respostas das IAs

GPT-6 Astra

Respondeu · bate com a resposta de referência dos cursinhos

a) Afastando-se da rede; b) 0{,}53\,\text{m}; c) 0{,}254\,\text{m/s}; d) 1{,}79\,\text{m}.

levou 24 s

Como pensou

A distância entre duas linhas consecutivas da rede é

d=\frac{1}{400}\,\text{mm}=2{,}5\times10^{-6}\,\text{m}.

Para incidência normal, os máximos de interferência satisfazem

d\sin\theta_m=m\lambda \quad\Rightarrow\quad \sin\theta_m=\frac{m(625\times10^{-9})}{2{,}5\times10^{-6}} =\frac m4.

Se D é a distância entre a rede e o anteparo, a posição vertical do máximo de ordem m, medida a partir do centro, é

y_m=D\tan\theta_m.

O máximo atinge a borda do anteparo quando |y_m|=L/2=0{,}6\,\text{m}.

a) Sentido do movimento

Os ângulos dos máximos são fixos. Assim, quando D aumenta, os máximos não centrais se afastam do centro do anteparo e, sucessivamente, saem de suas bordas.

Como o número de máximos observados diminui, o anteparo está se afastando da rede.

b) Distância à rede no instante t_1

Os sete máximos correspondem às ordens m=0,\pm1,\pm2,\pm3. Na transição de sete para cinco, os máximos de ordem \pm3 atingem as bordas.

Como

\sin\theta_3=\frac34, \qquad \cos\theta_3=\frac{\sqrt7}{4}, \qquad \tan\theta_3=\frac3{\sqrt7},

temos

D(t_1)\frac3{\sqrt7}=0{,}6.

Portanto,

\boxed{D(t_1)=0{,}2\sqrt7\,\text{m}\approx0{,}53\,\text{m}}.

c) Módulo da velocidade

No instante t_1+2\,\text{s}, a passagem de cinco para três máximos ocorre quando as ordens \pm2 atingem as bordas. Logo,

\sin\theta_2=\frac12 \quad\Rightarrow\quad \tan\theta_2=\frac1{\sqrt3}.

Assim,

D(t_1+2)\frac1{\sqrt3}=0{,}6 \quad\Rightarrow\quad D(t_1+2)=0{,}6\sqrt3\,\text{m}.

Como o movimento é uniforme,

v=\frac{D(t_1+2)-D(t_1)}{2} =\frac{0{,}6\sqrt3-0{,}2\sqrt7}{2}.

Usando a tabela fornecida,

\boxed{v\approx\frac{0{,}6(1{,}73)-0{,}2(2{,}65)}{2} =0{,}254\,\text{m/s}}.

d) Distância percorrida até restar apenas um máximo

Para restar apenas o máximo central, os máximos de ordem \pm1 devem sair do anteparo. Na posição-limite,

\sin\theta_1=\frac14 \quad\Rightarrow\quad \tan\theta_1=\frac1{\sqrt{15}}.

Portanto,

D_f\frac1{\sqrt{15}}=0{,}6 \quad\Rightarrow\quad D_f=0{,}6\sqrt{15}\,\text{m}.

A distância percorrida desde t_1 é

\Delta s=D_f-D(t_1) =0{,}6\sqrt{15}-0{,}2\sqrt7.

Com os valores da tabela,

\boxed{\Delta s\approx0{,}6(3{,}87)-0{,}2(2{,}65) =1{,}792\,\text{m}\approx1{,}79\,\text{m}}.

Resposta final: a) Afastando-se da rede; b) 0{,}53\,\text{m}; c) 0{,}254\,\text{m/s}; d) 1{,}79\,\text{m}.

GPT-6.1 Sol

Respondeu · bate com a resposta de referência dos cursinhos

a) Afastando-se da rede; b) 0{,}530\,\text{m}; c) 0{,}254\,\text{m/s}; d) 1{,}792\,\text{m}.

levou 22 s

Como pensou

A distância entre duas linhas consecutivas da rede é

d=\frac{1}{400}\,\text{mm}=2{,}5\times10^{-6}\,\text{m}.

Para incidência normal, os máximos de interferência satisfazem

d\sin\theta_m=m\lambda \quad\Rightarrow\quad \sin\theta_m=\frac{m}{4}.

Se x é a distância entre a rede e o anteparo, a posição do máximo de ordem m, medida a partir do centro, é

y_m=x\tan\theta_m.

No instante em que esse máximo atinge a borda do anteparo, y_m=L/2=0{,}6\,\text{m}. Logo, a distância correspondente é

x_m=\frac{0{,}6}{\tan\theta_m} =0{,}6\frac{\sqrt{16-m^2}}{m}.

a) Sentido do movimento

Para cada ordem, \theta_m é constante e y_m=x\tan\theta_m. Assim, quando x aumenta, os máximos se afastam do centro e saem pelas bordas, reduzindo o número de franjas observadas.

Portanto, o anteparo está afastando-se da rede.

b) Distância no instante t_1

As sete franjas correspondem às ordens

m=0,\ \pm1,\ \pm2,\ \pm3.

A passagem de sete para cinco ocorre quando os máximos de ordem \pm3 deixam o anteparo. Portanto,

x(t_1)=x_3 =0{,}6\frac{\sqrt{16-9}}{3} =0{,}2\sqrt7\,\text{m}.

Usando a tabela:

\boxed{x(t_1)\approx0{,}530\,\text{m}}.

c) Módulo da velocidade

Em t_1+2\,\text{s}, o número de franjas passa de cinco para três, pois os máximos de ordem \pm2 atingem as bordas. Nesse instante,

x(t_1+2)=x_2 =0{,}6\frac{\sqrt{16-4}}{2} =0{,}6\sqrt3\,\text{m}.

Como o movimento é uniforme,

v=\frac{x_2-x_3}{2\,\text{s}} =\frac{0{,}6\sqrt3-0{,}2\sqrt7}{2}\,\text{m/s}.

Com os valores fornecidos:

v\approx\frac{0{,}6(1{,}73)-0{,}2(2{,}65)}{2} =\boxed{0{,}254\,\text{m/s}}.

d) Distância percorrida até restar apenas um máximo

Para restar somente o máximo central, os máximos de ordem \pm1 devem sair do anteparo. A distância limite à rede é

x_1=0{,}6\frac{\sqrt{16-1}}{1} =0{,}6\sqrt{15}\,\text{m}.

Portanto, a distância percorrida desde t_1 é

\Delta x=x_1-x_3 =0{,}6\sqrt{15}-0{,}2\sqrt7.

Usando a tabela:

\Delta x\approx0{,}6(3{,}87)-0{,}2(2{,}65) =\boxed{1{,}792\,\text{m}}.

Resposta final: a) Afastando-se da rede; b) 0{,}530\,\text{m}; c) 0{,}254\,\text{m/s}; d) 1{,}792\,\text{m}.

GPT-6 Luna

Respondeu · bate com a resposta de referência dos cursinhos

a) afastando-se; b) 0{,}53\ \text{m}; c) 0{,}25\ \text{m/s}; d) 1{,}79\ \text{m}.

levou 36 s

Como pensou

**Exploring diffraction grating constraints** I’m considering how to derive constraints from counts that are discrete, where the values and speed are unknown. Maybe I should look into diffraction grating resolution? Given the vertical resolution of 400 lines per mm, that could relate to the number of lines and spacing. I wonder if I could identify the maximum order (m_max) using the formula d/λ, potentially up to about 4. Let’s think more about how this all connects!**Analyzing orders and projections** I'm exploring the concept of maximum orders existing at specific projections, particularly at sin=1. It seems like at t1, I can count 7 orders, which includes 0, ±1, ±2, and ±3. However, at t1+2, the maximum reduces to 5, including ±2. The calculations using distances at the screen edges may suggest the number of orders at the edges is significant. If I analyze carefully, I can see that at the boundaries, I’m probably dealing with a third-order projection as I transition from 7 to 5.**Examining transitions in counts** I'm considering a scenario where the count transitions from 7 to 5, indicating that at time t1, there are 7 fringes observed. The phrasing seems unclear, but it suggests a reduction to 5 at t1 and then down to 3 after an additional 2 seconds. I need to derive distances based on order thresholds, computing using boundaries and related formulas. The spacing relationship suggests that with a centered screen and 7 counts, m=3 is at the edge, whereas for 5 counts, m=2 aligns similarly. I’ll calculate the distances as well, considering the parameters provided.**Calculating motion and speed** I'm working on refining some equations related to a movement direction based on scale. For a certain variable, when m=1, it just leaves. If the D value exceeds a threshold, only the central part matters, calculating distance accordingly. I need to detail transition counts accurately. The speed formula I’m using is derived from specific values, and I’m confirming those calculations to align with expected results in distance, focusing on proper approximations and accuracy. I can specify the speed as 0.25 m/s.

Seja D a distância entre a rede e o anteparo, e \theta_m o ângulo do máximo de ordem m em relação à direção central. O espaçamento da rede é

d=\frac{1}{400\ \text{linhas/mm}}=2{,}5\times10^{-6}\ \text{m}, \qquad \frac d\lambda=4.

Pela equação da rede, d\sin\theta_m=m\lambda, de modo que

\sin\theta_m=\frac m4, \qquad \tan\theta_m=\frac{m}{\sqrt{16-m^2}}.

A posição vertical do máximo é, portanto,

y_m=D\tan\theta_m =D\frac{m}{\sqrt{16-m^2}}.

Como o anteparo tem comprimento L=1{,}2\ \text{m}, sua borda está a L/2=0{,}6\ \text{m} do centro. Quando um máximo de ordem m chega à borda, y_m=L/2, e assim

D_m=\frac{L}{2}\frac{\sqrt{16-m^2}}{m}.

a) Ao aumentar D, os máximos afastam-se do centro no anteparo e alguns deixam de caber nele. Logo, o anteparo está afastando-se da rede.

b) Na transição de 7 para 5 franjas, os máximos de ordem \pm3 deixam o anteparo. Portanto,

D(t_1)=D_3 =0{,}6\frac{\sqrt7}{3} =0{,}2\sqrt7 \approx 0{,}53\ \text{m}.

c) Dois segundos depois, na transição de 5 para 3 franjas, os máximos de ordem \pm2 chegam à borda:

D(t_1+2)=D_2 =0{,}6\frac{\sqrt{12}}{2} =0{,}6\sqrt3 \approx 1{,}04\ \text{m}.

Como o movimento é uniforme,

v=\frac{D_2-D_3}{2} =\frac{0{,}6\sqrt3-0{,}2\sqrt7}{2} \approx 0{,}25\ \text{m/s}.

d) Para restar apenas o máximo central, os máximos de ordem \pm1 também devem sair do anteparo. A distância correspondente à chegada desses máximos à borda é

D_1=0{,}6\sqrt{15}\approx 2{,}32\ \text{m}.

A partir de t_1, a distância percorrida é

\Delta D=D_1-D_3 =0{,}6\sqrt{15}-0{,}2\sqrt7 \approx 1{,}79\ \text{m}.

Resposta final: a) afastando-se; b) 0{,}53\ \text{m}; c) 0{,}25\ \text{m/s}; d) 1{,}79\ \text{m}.

Claude Fable 5.1

Respondeu · bate com a resposta de referência dos cursinhos

a) afastando‑se da rede; b) D₁ = 0,2√7 ≈ 0,53 m; c) v ≈ 0,25 m/s; d) Δs = 0,6√15 − 0,2√7 ≈ 1,79 m.

levou 19 s

Como pensou

I'm computing the diffraction grating spacing: 400 lines/mm gives d = 2500 nm, so with λ = 625 nm, sin θ_m = m/4. For m=1 I get tan θ = 1/√15, and I'm now working out m=2 where sin θ = 1/2. Continuing, m=3 gives tan θ = 3/√7 and m=4 doesn't project (θ=90°). Starting from 7 fringes (m=0,±1,±2,±3), losing the outer orders reduces to 5 then 3 as the screen moves. The screen must be moving away from the slits since fringes disappear as D grows. I calculate D1 ≈ 0,529 m (when m=±3 vanish) and D2 ≈ 1,038 m (when m=±2 vanish), giving a speed of about 0,254 m/s over the 2-second interval. Then for the next loss of fringes (m=±1), D3 = 0,6√15 ≈ 2,322 m. The distance traveled between t1 and this point is 2,322 - 0,529 ≈ 1,79 m.

Dados iniciais

Passo da rede: d = 1/400 mm = 2,5 × 10⁻⁶ m = 2500 nm.

Máximos de interferência da rede: d·sen θₘ = mλ ⇒ sen θₘ = m·625/2500 = m/4.

m = 1: sen θ₁ = 1/4 ⇒ tan θ₁ = (1/4)/(√15/4) = 1/√15
m = 2: sen θ₂ = 1/2 ⇒ tan θ₂ = 1/√3
m = 3: sen θ₃ = 3/4 ⇒ tan θ₃ = 3/√7
m = 4: sen θ₄ = 1 ⇒ θ = 90°, não chega ao anteparo.

Logo existem no máximo 7 franjas (m = 0, ±1, ±2, ±3). O máximo de ordem m atinge o anteparo (a uma distância D da rede) se

y_m = D·tan θₘ ≤ L/2 = 0,6 m.

a) Com 7 franjas estão presentes as ordens até ±3; passar para 5 significa que as ordens ±3 saíram do anteparo; passar para 3, que as ordens ±2 saíram. Como y_m = D·tan θₘ cresce com D, as franjas só deixam o anteparo se D aumenta. Portanto o anteparo está afastando‑se da rede.

b) Em t₁, a franja de ordem 3 está exatamente na borda:

D₁·tan θ₃ = 0,6 ⇒ D₁ = 0,6·√7/3 = 0,2·√7 ≈ 0,2 × 2,65 ≈ 0,53 m.

c) Em t₁ + 2 s, a franja de ordem 2 está na borda:

D₂·tan θ₂ = 0,6 ⇒ D₂ = 0,6·√3 ≈ 0,6 × 1,73 ≈ 1,04 m.

Movimento uniforme: v = (D₂ − D₁)/Δt = (1,04 − 0,53)/2 ≈ 0,51/2 ≈ 0,25 m/s.

d) Só fica 1 máximo (a ordem 0) quando a ordem 1 sai do anteparo:

D₃·tan θ₁ = 0,6 ⇒ D₃ = 0,6·√15 ≈ 0,6 × 3,87 ≈ 2,32 m.

Distância percorrida desde t₁: Δs = D₃ − D₁ ≈ 2,32 − 0,53 ≈ 1,79 m (≈ 1,8 m).

Resposta final: a) afastando‑se da rede; b) D₁ = 0,2√7 ≈ 0,53 m; c) v ≈ 0,25 m/s; d) Δs = 0,6√15 − 0,2√7 ≈ 1,79 m.

Claude Opus 5.5

Respondeu · bate com a resposta de referência dos cursinhos

a) afastando-se da rede; b) ≈ 0,53 m; c) ≈ 0,254 m/s; d) ≈ 1,79 m

levou 13 s

Como pensou

With grating spacing 2.5 μm and wavelength 0.625 μm, sinθ_m = m/4, giving visible orders up to m=±3, so 7 total orders could appear. I'm now checking which orders actually land within the screen's half-length of 0.6 m at distance D by comparing D tanθ_m against that limit. As D increases the orders fall off the screen edge one by one, so the count dropping from 7 to 5 means the screen is moving away as the m=3 order exits. I compute D1 using tanθ3 = 3/√7, giving D1 ≈ 0.53 m, then D2 using tanθ2 = 1/√3 as m=2 exits, giving D2 ≈ 1.038 m — so the speed is about (1.038−0.53)/2 ≈ 0.254 m/s. For the case where only m=0 remains (just one maximum), I find the distance where m=1 exits using tanθ1 = 1/√15, giving D3 ≈ 2.322 m, which is about 1.79 m beyond D1.

Grandezas da rede

O espaçamento entre as fendas é d = 1/400 mm = 2,5 μm, e λ = 0,625 μm.

Os máximos obedecem a d·sen θₘ = mλ, logo sen θₘ = m/4.

A ordem m = 4 daria θ = 90°, que não atinge o anteparo. As ordens possíveis são m = 0, ±1, ±2, ±3, ou seja, no máximo 7 franjas.

Com o anteparo à distância D, a franja de ordem m fica em yₘ = D·tg θₘ. Ela só é vista se yₘ ≤ L/2 = 0,6 m.

a) Quando a contagem cai de 7 para 5, as franjas de ordem ±3 saem pelas bordas do anteparo. Depois, de 5 para 3, saem as de ordem ±2. Como yₘ = D·tg θₘ cresce com D, as franjas só podem sair do anteparo se D estiver aumentando. Portanto, o anteparo está se afastando da rede.

b) No instante t₁, a ordem 3 está exatamente na borda.

sen θ₃ = 3/4, cos θ₃ = √7/4, então tg θ₃ = 3/√7.
D₁·(3/√7) = 0,6, então D₁ = 0,2√7 = 0,2·2,65 ≈ 0,53 m.

c) No instante t₁ + 2 s, a ordem 2 está na borda.

sen θ₂ = 1/2, então tg θ₂ = 1/√3.
D₂ = 0,6√3 = 0,6·1,73 ≈ 1,038 m.

A velocidade é v = (D₂ − D₁)/Δt = (1,038 − 0,530)/2 ≈ 0,254 m/s.

d) Restará apenas o máximo central quando as ordens ±1 saírem do anteparo.

sen θ₁ = 1/4, cos θ₁ = √15/4, então tg θ₁ = 1/√15.
D₃ = 0,6√15 = 0,6·3,87 ≈ 2,322 m.

A distância percorrida desde t₁ é D₃ − D₁ = 2,322 − 0,530 ≈ 1,79 m.

Resposta final: a) afastando-se da rede; b) ≈ 0,53 m; c) ≈ 0,254 m/s; d) ≈ 1,79 m

Claude Sonnet 5.5

Respondeu · bate com a resposta de referência dos cursinhos

a) afastando-se da rede; b) ≈ 0,53 m; c) ≈ 0,25 m/s; d) ≈ 1,79 m

levou 11 s

Como pensou

With grating spacing 2.5 µm and wavelength 625 nm, d/λ equals 4, so sinθ = m/4 limits diffraction orders to m = -3 through 3, giving seven maxima total since m=4 would require 90°. I need to check which of these orders actually land within the screen's half-length of 0.6 m at distance D, using y = D tanθ to find the maximum visible order. As the screen moves away, fringes disappear from the edges first: m=3 exits at D1 ≈ 0.53 m, dropping the count from 7 to 5, then m=2 exits at D2 ≈ 1.038 m, dropping from 5 to 3. The velocity between these transitions works out to about 0.254 m/s. For only the central maximum to remain, I still need to find D3, the distance where m=1 also exits the screen.

Dados da rede. O passo é d = 1/400 mm = 2,5 µm = 2500 nm, e λ = 625 nm, logo d/λ = 4.

Os máximos ocorrem para d·senθ = mλ, ou seja, senθ = m/4. Isso permite m = 0, ±1, ±2, ±3 (m = ±4 corresponderia a θ = 90° e não chega ao anteparo). Assim, no máximo há 7 franjas.

Para um anteparo a uma distância D da rede, a posição da franja de ordem m é y = D·tanθₘ, com

tanθ₁ = 1/√15
tanθ₂ = 2/√12 = 1/√3
tanθ₃ = 3/√7

A franja m é observada se y ≤ L/2 = 0,6 m.

a) Aumentando D, as franjas se afastam do centro e saem do anteparo uma a uma. O número de franjas diminui (7 → 5 → 3), o que só ocorre se D aumenta. Logo, o anteparo está se afastando da rede.

b) Em t₁ o número passa de 7 para 5, ou seja, as franjas m = ±3 acabam de atingir a borda do anteparo:

D₁ = (L/2)/tanθ₃ = 0,6·√7/3 = 0,2·2,65 ≈ 0,53 m

c) Em t₁ + 2 s o número passa a 3. Isso significa que as franjas m = ±2 estão na borda:

D₂ = 0,6/tanθ₂ = 0,6·√3 = 0,6·1,73 ≈ 1,04 m

v = (D₂ − D₁)/Δt = (1,038 − 0,53)/2 ≈ 0,25 m/s

d) Fica apenas 1 máximo (o central) quando as franjas m = ±1 saem do anteparo:

D₃ = 0,6·√15 = 0,6·3,87 ≈ 2,32 m

Distância percorrida desde t₁: D₃ − D₁ = 2,32 − 0,53 ≈ 1,79 m

Resposta final: a) afastando-se da rede; b) ≈ 0,53 m; c) ≈ 0,25 m/s; d) ≈ 1,79 m

Grok 4.7

Respondeu · bate com a resposta de referência dos cursinhos

a) afastando-se; b) 0,53 m; c) 0,254 m/s; d) 1,792 m

levou 1 min 29 s

Como pensou

This problem comes from the IME 2027 physics exam, second phase. The problem involves a diffraction grating and a moving screen. Monochromatic light hits the grating orthogonally. The screen moves uniformly in the beam direction. At t₁, 7 fringes appear. At t₁ + 2 s, only 3 remain. The wavelength is 625 nm. The grating has 400 lines per millimeter. The screen is 1.2 meters long. Four quantities must be found: the direction of motion, the distance at t₁, the velocity, and the travel distance for a single maximum. The grating formula d sin θ = m λ will be used. The grating line spacing is 2.5 μm and λ/d = 0.25. The sine of the m-th order angle equals m times 0.25. The highest possible order is m = ±4, giving nine maxima in total. The screen's finite length will limit how many are visible. The screen is centered at the beam axis and lies a distance D from the grating. The position of the m-th maximum on the screen is y_m = D tan θ_m. Because |y_m| must not exceed 0.6 m, the angle satisfies |tan θ_m| ≤ 0.6 / D. The observed number of fringes drops from 7 to 5 to 3 as the screen moves. The screen is moving away from the grating. As D increases, the outer fringes shift outward and leave the screen, so the visible count drops. The first-order angle is arcsin(0.25). Its tangent equals 0.25 divided by the square root of 15 over 16. The distance D must satisfy D ≤ 0.6 divided by tan θ_m for each order to remain visible. The total number of fringes equals the central maximum plus pairs of symmetric orders. The seven visible fringes correspond to orders m = 0, ±1, ±2, and ±3. The five fringes correspond to orders up to ±2. The three fringes correspond to orders up to ±1. At t₁ the third-order maximum reaches the screen edge at y₃ = 0.6 m. At t₁ + 2 s the second-order maximum reaches that same edge at y₂ = 0.6 m. The tangent of the m-th order angle is m divided by the square root of 16 minus m squared. For the third-order maximum, this equals 3 over the square root of 7. The distance at t₁, when that maximum reaches the screen edge, is 0.2 times the square root of 7. Using the provided square roots, the distances are D₃ = 0.53 m, D₂ ≈ 1.04 m, and D₁ ≈ 2.32 m. The fourth-order maximum lies at 90°, so it never reaches the screen. The velocity is 0.254 m/s, derived from the distance change of 0.508 m over 2 s. The fourth quantity is the distance traveled from t₁ until only the central maximum remains. The first-order maximum reaches the screen edge at a distance of 2.32 m. From t₁, when the distance was 0.53 m, the screen must travel about 1.79 m further.

A condição de máximos de interferência para a rede de difração é

d\sin\theta_m=m\lambda,\qquad m=0,\pm1,\pm2,\dots

Com os dados fornecidos obtém-se \lambda/d=1/4, de modo que

\sin\theta_m=\frac{m}{4}\qquad\text{e}\qquad\tan\theta_m=\frac{m}{\sqrt{16-m^2}}.

(O máximo de ordem |m|=4 ocorre em \theta=90^\circ e jamais atinge o anteparo.) A posição de cada máximo sobre o anteparo, situado à distância D da rede, é y_m=D\tan\theta_m. Como o anteparo tem comprimento L=1{,}2\,\mathrm{m} e está centralizado, um máximo de ordem m é observado se e somente se

|y_m|\le\frac{L}{2}=0{,}6\,\mathrm{m}.

Assim, os conjuntos de franjas visíveis são:

7 franjas \Leftrightarrow |m|\le3,
5 franjas \Leftrightarrow |m|\le2,
3 franjas \Leftrightarrow |m|\le1,
1 franja \Leftrightarrow apenas m=0.

Quando D cresce, as franjas externas abandonam o anteparo e o número de máximos diminui. Portanto o anteparo está se afastando da rede.

A passagem de 7 para 5 franjas ocorre exatamente quando as franjas de ordem \pm3 estão na borda do anteparo:

D(t_1)=\frac{0{,}6\cdot\sqrt{7}}{3}=0{,}2\cdot2{,}65=0{,}53\,\mathrm{m}.

A passagem de 5 para 3 franjas ocorre quando as franjas de ordem \pm2 estão na borda:

D(t_1+2\,\mathrm{s})=0{,}6\cdot\sqrt{3}=0{,}6\cdot1{,}73=1{,}038\,\mathrm{m}.

O módulo da velocidade (constante) é, portanto,

v=\frac{1{,}038-0{,}53}{2}=0{,}254\,\mathrm{m/s}.

Somente o máximo central permanece visível a partir do instante em que as franjas de ordem \pm1 atingem a borda,

D=0{,}6\cdot\sqrt{15}=0{,}6\cdot3{,}87=2{,}322\,\mathrm{m}.

A distância percorrida desde t_1 até esse instante é

2{,}322-0{,}53=1{,}792\,\mathrm{m}.

Resposta final: a) afastando-se; b) 0,53 m; c) 0,254 m/s; d) 1,792 m

DeepSeek V4.1 Flash

Respondeu · bate com a resposta de referência dos cursinhos

a) afastando-se; b) 0,2\sqrt{7}\,\text{m} \approx 0,53\,\text{m}; c) 0,3\sqrt{3}-0,1\sqrt{7}\,\text{m/s} \approx 0,25\,\text{m/s}; d) 0,6\sqrt{15}-0,2\sqrt{7}\,\text{m} \approx 1,79\,\text{m}

levou 36 s

Como pensou

Vamos resolver a questão. Temos uma rede de difração com 400 linhas/mm, então d = (1/400) mm = 2,5×10⁻³ mm = 2,5×10⁻⁶ m. Comprimento de onda λ = 625 nm = 625×10⁻⁹ m = 6,25×10⁻⁷ m. A condição para máximos: d senθ = mλ, com m = 0, ±1, ±2, ... O número de máximos observados no antepano de comprimento L = 1,2 m, centralizado, é o número de franjas cujas posições y satisfazem |y| ≤ L/2. Temos y = D tanθ, onde D é a distância antepano-rede. Número de franjas observadas: se o máximo de ordem m está dentro, temos máximos de ordem -m até +m, total 2m+1. Se m = 7, total 15? Espera. O enunciado diz "o número de franjas (máximos de interferência) observados no anteparo passa de 7 para 5". Isso parece indicar número ímpar de franjas totais. Mas observe que 7 e 5 são ímpares, então são totais de franjas: 2m+1 = 7 => m=3; 2m+1 =5 => m=2; e depois 3 => m=1. Mas o texto usa "passa de 7 para 5" e "se reduz a 3". Então número de franjas total. Precisamos determinar se D aumenta ou diminui. O ângulo θ para um dado máximo é fixo: senθ = mλ/d. A posição y = D tanθ. Se D aumenta, y aumenta, então o anteparo, de comprimento fixo, captura menos ordens? Vejamos: o anteparo tem comprimento L fixo. As franjas se afastam do centro quando D aumenta. Assim, as franjas de ordem alta saem do anteparo; número de franjas dentro diminui. Portanto, D está aumentando, ou seja, o anteparo se afasta da rede. Logo a) afastando-se. b) No instante t1, número total de franjas é 5, então a maior ordem observada é m = 2. A condição limite é que o máximo de ordem 2 esteja exatamente na borda do anteparo (ou dentro, e o de ordem 3 fora). Como o número passa de 7 (m=3) para 5 (m=2), no instante t1 o máximo de ordem 2 ainda está dentro e o de ordem 3 já saiu. Provavelmente a fronteira é o máximo de ordem 2 na borda, ou seja, posição y_2 = L/2. Mas precisamos interpretar: "no instante t1, o número de franjas observados no anteparo passa de 7 para 5." Isso significa que imediatamente antes de t1 eram 7 e imediatamente depois são 5; então em t1 ocorre a transição. Nesse instante, a franja de ordem 3 (m=3) atinge a borda do anteparo e sai. Assim, no instante t1, y_3 = L/2? Precisamos decidir se a franja de ordem 3 estaria exatamente na borda ou se já saiu. Geralmente consideramos que "passa de 7 para 5" quando a ordem 3 atinge a borda (deixa de ser observada). Então y_3 = L/2. Mas se y_3 = L/2, a franja de ordem 3 ainda está na borda e pode ser contada? O número 7 inclui as ordens -3 a +3, com a de ordem 3 na borda. Quando ela sai, passamos a 5 (ordens -2 a +2). Então no instante t1, a franja de ordem 3 está exatamente na borda? Se estiver exatamente na borda, ela ainda é observada? Na prática, a transição ocorre quando ela cruza a borda. Podemos assumir que em t1, y_3 = L/2, e imediatamente depois ela sai. Isso é consistente com "nesse instante passa de 7 para 5". Então usamos y_3 = L/2. Mas vamos checar: y_m = D tanθ_m. Para m=3, senθ_3 = 3λ/d. Como d = 2,5×10⁻⁶ m, λ = 6,25×10⁻⁷ m, então λ/d = (6,25×10⁻⁷)/(2,5×10⁻⁶) = 0,25. Então senθ_3 = 3*0,25 = 0,75. cosθ_3 = sqrt(1 - 0,5625) = sqrt(0,4375) = 0,6614. tanθ_3 = 0,75 / 0,6614 = 1,134. Então y_3 = D * 1,134 = L/2 = 0,6 m => D = 0,6 / 1,134 = 0,529 m? Mas vamos calcular exatamente. tanθ_3 = senθ_3 / cosθ_3 = 0,75 / sqrt(1 - 0,75²) = 0,75 / sqrt(1 - 0,5625) = 0,75 / sqrt(0,4375). sqrt(0,4375) = sqrt(7/16) = sqrt7 / 4. sqrt7 ≈ 2,64575. Então tanθ_3 = 0,75 / (2,64575/4) = 0,75 * 4 / 2,64575 = 3 / 2,64575 = 1,13389. D = 0,6 / 1,13389 = 0,5292 m. Mas espere: a tabela de raízes quadradas inclui sqrt(7) = 2,65 e sqrt(8)=2,83, etc. Podemos usar. D = 0,6 * 4 / sqrt7 = 2,4 / sqrt7 = 2,4 / 2,64575 ≈ 0,907? Não, calculei errado? Vamos refazer: tanθ_3 = 0,75 / (sqrt7/4) = 0,75 * 4 / sqrt7 = 3 / sqrt7. Então D = (L/2) / tanθ_3 = 0,6 * sqrt7 / 3 = 0,2 * sqrt7. sqrt7 ≈ 2,64575 => D = 0,52915 m. Usando a tabela: sqrt7 = 2,65. D = 0,2 * 2,65 = 0,53 m. Mas vamos ver se o instante t1 é quando a franja de ordem 3 sai. Alternativamente, o problema pode querer que no instante t1 a franja de ordem 3 já saiu e a de ordem 2 está na borda? Mas aí o número seria 5? Se a de ordem 2 estiver na borda, as ordens -2, -1, 0, 1, 2 são 5 franjas. Isso também é possível: no instante t1, temos 5 franjas, com a de ordem 2 na borda. Mas a transição de 7 para 5 ocorre quando a de ordem 3 sai, então no exato instante, a de ordem 3 está na borda, e a de ordem 2 está dentro. O número de franjas observadas inclui a de ordem 3 na borda? Se considerarmos que a franja na borda é observada, então em t1 teríamos 7 franjas. Mas o enunciado diz "no instante t1, o número de franjas observados no anteparo passa de 7 para 5". Isso significa que exatamente em t1 o número é 5? Ou que a mudança ocorre em t1? "Num instante t1, o número de franjas (...) passa de 7 para 5." Isso indica que imediatamente antes de t1 eram 7 e imediatamente depois são 5. Em t1, a franja de ordem 3 está na borda. Se ela é contada, o número é 7; se não, é 5. Normalmente, consideramos que a franja que está exatamente na borda ainda é observada, mas como "passa de 7 para 5", no instante t1 a contagem pode ser 5? Ou seja, no instante t1 a franja 3 já saiu? Vamos analisar: "Num instante t1, o número de franjas ... passa de 7 para 5." Isso sugere que t1 é o instante da transição, então o número pode ser 5 ou 7 dependendo do critério. Mas precisamos de um valor para D. Para determinar D, vamos usar o fato de que no instante t1, temos 5 franjas. Isso significa que a franja de ordem 2 está no anteparo e a de ordem 3 não. A posição da franja de ordem 2 é D tanθ_2. Para que apenas 5 franjas sejam observadas, devemos ter y_2 ≤ L/2 < y_3. Se considerarmos o limite, y_2 = L/2? Mas aí a franja de ordem 2 está na borda, e a de ordem 3 está fora. Isso daria 5 franjas (ordens -2 a 2). No entanto, a transição de 7 para 5 ocorre quando y_3 cruza L/2, não y_2. Se y_3 = L/2, então y_2 < L/2, e teríamos 7 franjas (ordens -3 a 3) se contarmos a de ordem 3 na borda. Se não contarmos, 5. A ambiguidade é se a franja na borda conta. Geralmente, em problemas de difração, o número de máximos observados em uma tela de largura L é o maior inteiro m tal que y_m ≤ L/2. Então quando y_3 = L/2, m=3 é incluído, então temos 7. Quando y_3 > L/2, m=2, temos 5. Então a transição de 7 para 5 ocorre quando y_3 = L/2. Nesse exato instante, o número ainda é 7 (se contarmos a borda) ou 5? Se y_3 = L/2, y_3 ≤ L/2 é verdade, então 7 é observado. Mas o enunciado diz que "no instante t1, o número de franjas observados no anteparo passa de 7 para 5". Isso implica que em t1 o número mudou, então em t1 y_3 > L/2, mas imediatamente antes y_3 ≤ L/2. Então podemos tomar y_3 = L/2 como o limite. Para calcular D, usamos y_3 = L/2. Mas vamos ver o que o problema espera. Muitas vezes, nesses problemas, eles consideram que no instante t1, a franja de ordem 3 está exatamente na borda, e a contagem é 5 (excluindo a borda) ou 7 (incluindo). Mas o número dado é 5, então talvez eles já considerem que a franja de ordem 2 está na borda? Vamos testar: se y_2 = L/2, então D = (L/2) / tanθ_2. senθ_2 = 2λ/d = 0,5. cosθ_2 = sqrt(1 - 0,25) = sqrt(0,75) = sqrt3/2 ≈ 0,8660. tanθ_2 = 0,5 / (sqrt3/2) = 1/sqrt3 ≈ 0,57735. Então D = 0,6 / 0,57735 = 1,039 m. Nesse caso, y_3 = D tanθ_3 = 1,039 * 1,13389 = 1,178 m > 0,6 m, então y_3 está fora. O número de franjas seria 5. Mas será que no instante t1, a franja de ordem 2 está na borda? O texto diz "passa de 7 para 5", então a transição é de 7 para 5, não de 5 para 3. Se em t1 y_2 = L/2, então antes de t1, com D menor, y_2 < L/2 e y_3 poderia estar dentro? Vamos ver: se D = 1,039, y_3 = 1,178 > 0,6, então y_3 já saiu. Para que antes de t1 tenhamos 7 franjas, precisamos que y_3 ≤ 0,6. Isso implica D ≤ 0,6/1,13389 = 0,529. Então se D = 1,039, já estamos com 5 franjas há um bom tempo, não haveria transição de 7 para 5 em t1, a menos que t1 seja o instante em que y_2 = L/2, mas aí já teríamos 5 franjas desde quando y_3 saiu. A transição de 7 para 5 ocorre quando y_3 = L/2. Portanto, o instante t1 é quando y_3 = L/2, e nesse instante o número de franjas passa de 7 (se contarmos borda) para 5 (se não contarmos). Mas o enunciado diz que no instante t1 o número é 5? "No instante t1, o número de franjas observados no anteparo passa de 7 para 5." Isso pode ser interpretado como: em t1, o número é 5, e imediatamente antes era 7. Então o instante t1 é logo após a franja de ordem 3 sair. Então podemos considerar que em t1, y_3 > L/2, mas y_2 < L/2. Para calcular D, usamos a condição de que a franja de ordem 2 ainda está dentro e a de ordem 3 está fora. Mas precisamos de um valor exato para D. O problema fornece uma tabela de raízes quadradas, o que sugere que precisamos calcular algo como sqrt7, sqrt3, etc. Vamos ver as alternativas. Se usarmos y_3 = L/2, D = 0,2 sqrt7 = 0,2 * 2,64575 = 0,52915 m ≈ 0,53 m. Se usarmos y_2 = L/2, D = 0,6 / (1/sqrt3) = 0,6 sqrt3 = 0,6 * 1,732 = 1,039 m ≈ 1,04 m. Agora, vamos analisar a parte c) e d) para ver qual D se encaixa melhor. c) O módulo da velocidade do anteparo. Sabemos que no instante t1 + 2 s, o número de franjas se reduz a 3. Isso significa que a franja de ordem 2 sai. A transição de 5 para 3 ocorre quando y_2 = L/2. Então no instante t2 = t1 + 2 s, temos y_2 = L/2. A distância percorrida nesse intervalo é ΔD = D2 - D1, onde D1 é a distância em t1 e D2 é a distância em t2. A velocidade v = ΔD / 2. Se em t1 usarmos y_3 = L/2, então D1 = 0,2 sqrt7 ≈ 0,529 m. Em t2, y_2 = L/2 => D2 = 0,6 sqrt3 ≈ 1,039 m. Então ΔD = 1,039 - 0,529 = 0,510 m. v = 0,510 / 2 = 0,255 m/s ≈ 0,26 m/s. Se em t1 usarmos y_2 = L/2, então D1 = 1,039 m. Mas aí a transição de 7 para 5 já teria ocorrido antes, e no instante t1 o número seria 5 (pois y_3 > L/2). Então em t1, o número é 5, o que coincide com "passa de 7 para 5"? Não, se em t1 o número é 5, isso significa que a transição já ocorreu. Mas o texto diz "num instante t1, o número ... passa de 7 para 5". Isso implica que a transição ocorre em t1. Portanto, em t1, o número muda de 7 para 5. Então imediatamente antes era 7, imediatamente depois é 5. Nesse caso, a franja de ordem 3 está saindo em t1. Então y_3 = L/2 em t1 é a condição de contorno. Portanto, D1 = 0,2 sqrt7 é mais plausível para o instante da transição. Mas se em t1 o número é 5, então a franja de ordem 3 já saiu. Mas a transição ocorre em t1, então podemos considerar que em t1 a franja de ordem 3 está exatamente na borda, e o número é 5 se não contarmos a borda. Isso é uma convenção. Vamos ver a parte d) para confirmar. d) "a distância percorrida desde o instante t1 para que, a partir desse momento, só fique possível observar 1 máximo no anteparo." Isso significa que a partir de um certo instante, apenas 1 máximo é observado. O número de franjas total é 2m+1. Para ter 1 máximo, m=0, ou seja, apenas o máximo central. Isso ocorre quando a franja de ordem 1 sai, ou seja, y_1 > L/2. A condição limite é y_1 = L/2. A distância percorrida desde t1 é D3 - D1, onde D3 é a distância para y_1 = L/2. Calculemos D3: senθ_1 = λ/d = 0,25. cosθ_1 = sqrt(1 - 0,0625) = sqrt(0,9375) = sqrt(15/16) = sqrt15 / 4 ≈ 0,9682458. tanθ_1 = 0,25 / (sqrt15/4) = 1 / sqrt15 ≈ 0,2581989. D3 = 0,6 / tanθ_1 = 0,6 * sqrt15 ≈ 0,6 * 3,873 = 2,3238 m. A distância percorrida desde t1: ΔD' = D3 - D1. Se D1 = 0,529, ΔD' = 2,324 - 0,529 = 1,795 m ≈ 1,80 m. Se D1 = 1,039, ΔD' = 2,324 - 1,039 = 1,285 m ≈ 1,29 m. A tabela de raízes quadradas inclui sqrt(15) = 3,87 (na verdade a tabela mostra 15: 3,87). Também mostra sqrt(7) = 2,65 e sqrt(3) = 1,73. Isso sugere que precisamos de sqrt7, sqrt3 e sqrt15. Mas sqrt15 não está na tabela? A tabela tem 15: 3,87. Então ambos os caminhos usam a tabela. Vamos ver qual combinação é mais elegante. Se D1 = 0,2 sqrt7 = 0,2 * 2,65 = 0,53 m. D2 = 0,6 sqrt3 = 0,6 * 1,73 = 1,038 m ≈ 1,04 m. v = (1,038 - 0,53)/2 = 0,508/2 = 0,254 m/s ≈ 0,25 m/s. D3 = 0,6 sqrt15 = 0,6 * 3,87 = 2,322 m ≈ 2,32 m. ΔD' = 2,322 - 0,53 = 1,792 m ≈ 1,79 m. Se D1 = 0,6 sqrt3 = 1,04 m. D2? Em t2, y_2 = L/2? Mas se em t1 já é y_2 = L/2, então em t2 seria y_1 = L/2? Não, porque o número em t2 é 3, então a franja de ordem 1 está dentro e a de ordem 2 fora. A transição de 5 para 3 ocorre quando y_2 = L/2. Se em t1 o número é 5, então y_2 < L/2? Não, se em t1 o número é 5, então m=2, então y_2 ≤ L/2 e y_3 > L/2. Em t2, o número é 3, então m=1, então y_1 ≤ L/2 e y_2 > L/2. A transição de 5 para 3 ocorre quando y_2 = L/2. Então em t2, y_2 = L/2. Portanto D2 = 0,6 sqrt3 = 1,04 m. Mas se em t1 o número é 5 e a transição de 7 para 5 ocorreu antes, então em t1 y_3 já saiu. Mas o enunciado diz que em t1 o número passa de 7 para 5. Isso implica que em t1 ocorre a transição de 7 para 5. Então em t1, y_3 = L/2. Portanto D1 = 0,2 sqrt7. Isso é consistente com a progressão: em t1, m=2 (5 franjas) com y_3 = L/2? Se y_3 = L/2, então m=3, então 7 franjas. Mas se considerarmos que a franja na borda não conta, então m=2, 5 franjas. Então em t1, y_3 = L/2 e o número é 5 (excluindo a borda). Em t2, y_2 = L/2 e o número é 3 (excluindo a borda). Em t3, y_1 = L/2 e o número é 1 (excluindo a borda). Isso faz uma progressão coerente: cada transição ocorre quando a franja de ordem m atinge a borda. Então: t1: y_3 = L/2 => D1 = (L/2) / tanθ_3 = 0,6 / (3/sqrt7) = 0,6 * sqrt7 / 3 = 0,2 sqrt7 ≈ 0,53 m. t2: y_2 = L/2 => D2 = (L/2) / tanθ_2 = 0,6 / (1/sqrt3) = 0,6 sqrt3 ≈ 1,04 m. t3: y_1 = L/2 => D3 = (L/2) / tanθ_1 = 0,6 / (1/sqrt15) = 0,6 sqrt15 ≈ 2,32 m. Isso é muito consistente. E a velocidade: v = (D2 - D1)/2 = (0,6 sqrt3 - 0,2 sqrt7)/2 = 0,3 sqrt3 - 0,1 sqrt7 = 0,3*1,73 - 0,1*2,65 = 0,519 - 0,265 = 0,254 m/s. Usando valores exatos: v = (0,6√3 - 0,2√7)/2 = 0,3√3 - 0,1√7 ≈ 0,3*1,732 - 0,1*2,646 = 0,5196 - 0,2646 = 0,255 m/s. A distância percorrida desde t1 para observar 1 máximo: ΔD = D3 - D1 = 0,6√15 - 0,2√7 ≈ 0,6*3,873 - 0,2*2,646 = 2,3238 - 0,5292 = 1,7946 m ≈ 1,79 m. Agora, vamos verificar se a tabela de raízes quadradas nos dá esses valores. A tabela tem: x=2: 1,41 3: 1,73 5: 2,24 6: 2,45 7: 2,65 8: 2,83 13: 3,61 14: 3,74 15: 3,87 Então sqrt3 = 1,73, sqrt7 = 2,65, sqrt15 = 3,87. Usando esses valores: D1 = 0,2 * 2,65 = 0,53 m. D2 = 0,6 * 1,73 = 1,038 m ≈ 1,04 m. D3 = 0,6 * 3,87 = 2,322 m ≈ 2,32 m. v = (1,038 - 0,53)/2 = 0,508/2 = 0,254 m/s ≈ 0,25 m/s. ΔD = 2,322 - 0,53 = 1,792 m ≈ 1,79 m. Agora, vamos escrever a solução item por item. a) Como o número de franjas diminui com o tempo, e o número de franjas visíveis depende do afastamento entre rede e anteparo (aumentando D, as franjas se afastam do centro e saem do anteparo), o anteparo está se afastando da rede. b) No instante t1, a franja de ordem 3 atinge a borda do anteparo. Portanto, y_3 = L/2. A posição da franja de ordem m é y_m = D tanθ_m, com senθ_m = mλ/d. Para m=3: senθ_3 = 3λ/d = 3*(625×10⁻⁹)/(2,5×10⁻⁶) = 3*0,25 = 0,75. Assim, cosθ_3 = √(1 - 0,75²) = √(1 - 0,5625) = √0,4375 = √(7/16) = √7/4. tanθ_3 = senθ_3 / cosθ_3 = 0,75 / (√7/4) = 3/√7. Então D1 = (L/2) / tanθ_3 = 0,6 * √7 / 3 = 0,2√7. Usando √7 ≈ 2,65, D1 ≈ 0,2 * 2,65 = 0,53 m. c) No instante t1 + 2 s, o número de franjas é 3, então a franja de ordem 2 atinge a borda: y_2 = L/2. Para m=2: senθ_2 = 2λ/d = 2*0,25 = 0,5. cosθ_2 = √(1 - 0,25) = √0,75 = √3/2. tanθ_2 = 0,5 / (√3/2) = 1/√3. Então D2 = (L/2) / tanθ_2 = 0,6 * √3. Usando √3 ≈ 1,73, D2 ≈ 0,6 * 1,73 = 1,038 m. A velocidade é v = (D2 - D1)/Δt = (0,6√3 - 0,2√7)/2 = 0,3√3 - 0,1√7 ≈ 0,3*1,73 - 0,1*2,65 = 0,519 - 0,265 = 0,254 m/s ≈ 0,25 m/s. d) Para que só reste 1 máximo (o central), a franja de ordem 1 deve atingir a borda: y_1 = L/2. Para m=1: senθ_1 = λ/d = 0,25. cosθ_1 = √(1 - 0,0625) = √0,9375 = √(15/16) = √15/4. tanθ_1 = 0,25 / (√15/4) = 1/√15. Então D3 = (L/2) / tanθ_1 = 0,6 * √15. Usando √15 ≈ 3,87, D3 ≈ 0,6 * 3,87 = 2,322 m. A distância percorrida desde t1 é ΔD = D3 - D1 = 0,6√15 - 0,2√7 ≈ 2,322 - 0,53 = 1,792 m ≈ 1,79 m. Verifique os cálculos: d = 1 mm / 400 = 2,5×10⁻³ mm = 2,5×10⁻⁶ m. λ = 625×10⁻⁹ m = 6,25×10⁻⁷ m. λ/d = 6,25×10⁻⁷ / 2,5×10⁻⁶ = 0,25. OK. senθ_m = m * 0,25. m=1: sen=0,25; cos=√(1-0,0625)=√0,9375=√(15/16)=√15/4. tan=0,25/(√15/4)=1/√15. m=2: sen=0,5; cos=√(0,75)=√3/2. tan=0,5/(√3/2)=1/√3. m=3: sen=0,75; cos=√(0,4375)=√(7/16)=√7/4. tan=0,75/(√7/4)=3/√7. D = (L/2)/tanθ_m = 0,6 * cotθ_m = 0,6 * (cos/sen). Para m=3: D1 = 0,6 * (√7/4) / 0,75 = 0,6 * √7 / 3 = 0,2√7. Para m=2: D2 = 0,6 * (√3/2) / 0,5 = 0,6 * √3 = 0,6√3. Para m=1: D3 = 0,6 * (√15/4) / 0,25 = 0,6 * √15 = 0,6√15. Velocidade: ΔD/Δt = (0,6√3 - 0,2√7)/2 = 0,3√3 - 0,1√7. Distância desde t1: 0,6√15 - 0,2√7. Agora, vamos responder exatamente como pede o enunciado, mostrando o desenvolvimento. Usaremos os valores da tabela para as raízes. a) Afastando-se. b) D1 = 0,2√7 ≈ 0,53 m. c) v = (0,6√3 - 0,2√7)/2 ≈ 0,25 m/s. d) ΔD = 0,6√15 - 0,2√7 ≈ 1,79 m. Vou escrever a resposta final de forma curta. Verifique se há algum detalhe sobre "o número de franjas passa de 7 para 5" que possa indicar que em t1 o número é 5 e a franja de ordem 3 já saiu. Mas nossos cálculos consideram que em t1 y_3 = L/2, então se incluirmos a borda, o número seria 7. Mas o enunciado diz que o número passa de 7 para 5, então em t1 o número é 5. Isso é consistente com a exclusão da franja na borda. Então nossa abordagem está correta. Vamos escrever a solução.

Resolução:

Dados:

d = \frac{1}{400}\,\text{mm} = 2,5\times10^{-6}\,\text{m}
\lambda = 625\,\text{nm} = 6,25\times10^{-7}\,\text{m}
L = 1,2\,\text{m}
\frac{\lambda}{d} = \frac{6,25\times10^{-7}}{2,5\times10^{-6}} = 0,25

a) À medida que o anteparo se move, o número de franjas observadas diminui. As franjas se afastam do centro quando a distância D entre rede e anteparo aumenta, fazendo com que as ordens mais altas saiam do comprimento fixo L do anteparo. Portanto, o anteparo está se afastando da rede.

b) No instante t_1, o número de franjas passa de 7 para 5, o que ocorre quando a franja de ordem m=3 atinge a borda do anteparo. Logo, y_3 = \frac{L}{2}.

\sen\theta_3 = 3\frac{\lambda}{d}=3(0,25)=0,75

\cos\theta_3 = \sqrt{1-0,75^2} = \sqrt{1-0,5625} = \sqrt{0,4375} = \frac{\sqrt{7}}{4}

\tan\theta_3 = \frac{0,75}{\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}}

Como y_3 = D_1 \tan\theta_3 = \frac{L}{2}:

D_1 = \frac{L/2}{\tan\theta_3} = \frac{0,6}{3/\sqrt{7}} = 0,2\sqrt{7}

Usando \sqrt{7} \approx 2,65:

D_1 \approx 0,2 \times 2,65 = 0,53\,\text{m}

c) No instante t_1+2\,\text{s}, o número de franjas se reduz a 3, então a franja de ordem m=2 atinge a borda:

\sen\theta_2 = 2(0,25)=0,5

\cos\theta_2 = \sqrt{1-0,5^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tan\theta_2 = \frac{0,5}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}

D_2 = \frac{L/2}{\tan\theta_2} = 0,6\sqrt{3}

A velocidade é:

v = \frac{D_2 - D_1}{\Delta t} = \frac{0,6\sqrt{3} - 0,2\sqrt{7}}{2} = 0,3\sqrt{3} - 0,1\sqrt{7}

Usando \sqrt{3}\approx1,73 e \sqrt{7}\approx2,65:

v \approx 0,3(1,73) - 0,1(2,65) = 0,519 - 0,265 = 0,254\,\text{m/s} \approx 0,25\,\text{m/s}

d) Para que reste apenas 1 máximo (o central), a franja de ordem m=1 deve atingir a borda:

\sen\theta_1 = 1(0,25)=0,25

\cos\theta_1 = \sqrt{1-0,25^2} = \sqrt{0,9375} = \frac{\sqrt{15}}{4}

\tan\theta_1 = \frac{0,25}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}}

D_3 = \frac{L/2}{\tan\theta_1} = 0,6\sqrt{15}

A distância percorrida desde t_1 é:

\Delta D = D_3 - D_1 = 0,6\sqrt{15} - 0,2\sqrt{7}

Usando \sqrt{15}\approx3,87 e \sqrt{7}\approx2,65:

\Delta D \approx 0,6(3,87) - 0,2(2,65) = 2,322 - 0,530 = 1,792\,\text{m} \approx 1,79\,\text{m}

Resposta final: a) afastando-se; b) 0,2\sqrt{7}\,\text{m} \approx 0,53\,\text{m}; c) 0,3\sqrt{3}-0,1\sqrt{7}\,\text{m/s} \approx 0,25\,\text{m/s}; d) 0,6\sqrt{15}-0,2\sqrt{7}\,\text{m} \approx 1,79\,\text{m}

Gemini 3.8 Flash

Respondeu · bate com a resposta de referência dos cursinhos

a) afastando-se; b) 0,53 m; c) 0,254 m/s; d) 1,792 m

levou 48 s

Como pensou

**Analyzing Diffraction Setup** I'm currently dissecting a physics problem from the IME vestibular, specifically focusing on diffraction gratings. My attention is directed towards carefully examining the provided image and the problem statement, which details a monochromatic light beam incident perpendicularly on a diffraction grating, producing narrow fringes. **Calculating Diffraction Movement** I'm now focused on determining if the screen is approaching or receding from the grating and calculating its initial distance at $t_1$. My analysis involves using the provided fringe counts and their changes over time to deduce the screen's motion and precise positioning. I will then proceed to find the magnitude of its velocity. **Refining Diffraction Limits** I'm now calculating the maximum possible diffraction orders given the grating and wavelength. My focus is on determining the specific angle that corresponds to the physical limit of observable maxima. **Determining Diffraction Boundaries** I'm now investigating how the screen's distance from the grating impacts the observable fringes. Specifically, I'm calculating the maximum possible fringe order that can be displayed on the screen of length $L$, considering the screen's vertical limits and the geometric relationship between distance $D$, angle $\theta_m$, and fringe position $y_m$. **Observing Fringe Behavior** I'm currently observing that the number of visible fringes is decreasing over time. This implies the screen is moving away from the diffraction grating. My current focus is on using this observation to confirm whether the screen is indeed receding. **Confirming Screen Receding** I've confirmed the screen is receding. At $t_1$, the $m=\pm3$ fringe just hits the screen's edge. Using this, I've calculated the screen's distance from the grating at that specific moment. **Calculating Screen Velocity** I've successfully calculated the screen's position at two distinct time points using fringe limit data. Now, I'm applying these values to determine the constant velocity of the screen as it recedes from the diffraction grating. **Calculating Screen Velocity** I have now calculated the screen's velocity using the positions derived from the fringe data at two specific time points. The value obtained is $0.254 \, \text{m/s}$ or, more precisely, $0.3\sqrt{3} - 0.1\sqrt{7} \, \text{m/s}$. **Determining New Distance** I am now determining the additional distance the screen must travel from $t_1$ for only the central maximum ($m=0$) to remain visible. This requires the $m = \pm 1$ fringes to just exit the screen. **Calculating New Distance** I am now calculating the additional distance the screen must move from $t_1$ to ensure only the central maximum is visible. This involves the first-order fringes just leaving the screen, and I've used the provided square roots to determine this new distance precisely. **Calculating Additional Distance** I'm now determining the additional distance the screen travels from $t_1$ for only the $m=0$ fringe to be visible. I've used precise values from the provided table for $\sqrt{7}$ and $\sqrt{15}$ to calculate this distance. **Confirming Diffraction Calculation** My calculations for the diffraction grating spacing and wavelength are solid, confirmed by the use of specific square roots provided in the problem. I am now meticulously re-checking the mathematical steps to ensure absolute accuracy. **Verifying Diffraction Grating Spacing** I've confirmed the diffraction grating spacing and the wavelength of light using the provided square root values. I am now double-checking all calculations related to these fundamental parameters to ensure complete accuracy. **Confirming Screen Motion** I have determined that the screen is indeed moving away from the diffraction grating. This conclusion stems from the observation that the number of visible interference fringes is decreasing over time. My subsequent steps will focus on quantifying this motion. **Calculating Screen Velocity** I've calculated the screen's positions at two distinct times ($t_1$ and $t_2$) based on fringe visibility limits. Using these positions, I've now determined the screen's constant velocity as it recedes from the grating. **Calculating Additional Distance** I have calculated the screen's distance from the grating at $t_3$ as $2.322 \text{ m}$ to ensure only the central maximum remains visible. This value was derived by considering the first-order fringes just leaving the screen's edge. **Confirming Calculations** I am confirming all my previous calculations. My derived values for the screen's distance at $t_1$ and the screen's velocity are consistent with the numerical values and the precise expressions provided in the problem statement.

Para resolver a questão, analisamos a difração da luz ao atravessar a rede e sua projeção no anteparo.

1. Parâmetros da Rede de Difração

O espaçamento d entre fendas consecutivas da rede de difração é:

d = \frac{1\text{ mm}}{400} = \frac{10^{-3}\text{ m}}{400} = 2{,}5 \times 10^{-6}\text{ m} = 2500\text{ nm}

O comprimento de onda da luz é:

\lambda = 625\text{ nm} = 625 \times 10^{-9}\text{ m}

A condição para os máximos de interferência (franjas brilhantes) é dada por:

d \sin\theta_m = m\lambda \implies \sin\theta_m = m \frac{\lambda}{d} = m \frac{625}{2500} = \frac{m}{4}, \quad m \in \mathbb{Z}

A distância y_m de um máximo de ordem m ao centro do anteparo é:

y_m = D \tan\theta_m

onde D é a distância entre a rede de difração e o anteparo.

Como o anteparo é centralizado e possui comprimento L = 1{,}2\text{ m}, a distância do centro às suas bordas é:

y_{\text{borda}} = \frac{L}{2} = \frac{1{,}2}{2} = 0{,}6\text{ m}

a) Sentido do movimento do anteparo

A posição de cada máximo de ordem m \neq 0 em relação ao centro do anteparo é dada por y_m = D \tan\theta_m. Como os ângulos de difração \theta_m dependem apenas de \lambda e d (sendo constantes), a distância de cada franja ao centro é diretamente proporcional à distância D entre a rede e o anteparo.

Com o passar do tempo, o número de franjas observadas diminui (de 7 para 5, e depois para 3), o que significa que as franjas de ordens superiores estão se afastando do centro e ultrapassando as bordas do anteparo (|y_m| > L/2). Para que |y_m| aumente, a distância D deve aumentar.

Portanto, o anteparo está afastando-se da rede.

b) Distância do anteparo à rede no instante t_1

No instante t_1, o número de franjas passa de 7 (ordens m = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3) para 5 (ordens m = 0, \pm 1, \pm 2), o que significa que as franjas de ordem m = \pm 3 atingiram a borda do anteparo:

y_3 = \frac{L}{2} = 0{,}6\text{ m}

Para m = 3:

\sin\theta_3 = \frac{3}{4}

\cos\theta_3 = \sqrt{1 - \sin^2\theta_3} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}

\tan\theta_3 = \frac{\sin\theta_3}{\cos\theta_3} = \frac{3}{\sqrt{7}}

Sendo y_3 = D(t_1) \tan\theta_3:

D(t_1) = \frac{y_3}{\tan\theta_3} = \frac{0{,}6}{3/\sqrt{7}} = 0{,}2\sqrt{7}\text{ m}

Consultando a tabela fornecida (\sqrt{7} = 2{,}65):

D(t_1) = 0{,}2 \times 2{,}65 = 0{,}53\text{ m}

c) Módulo da velocidade do anteparo

No instante t_2 = t_1 + 2\text{ s}, o número de franjas se reduz a 3 (ordens m = 0, \pm 1), indicando que as franjas de ordem m = \pm 2 atingiram a borda do anteparo:

y_2 = \frac{L}{2} = 0{,}6\text{ m}

Para m = 2:

\sin\theta_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

\cos\theta_2 = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tan\theta_2 = \frac{\sin\theta_2}{\cos\theta_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}

Logo:

D(t_2) = \frac{y_2}{\tan\theta_2} = \frac{0{,}6}{1/\sqrt{3}} = 0{,}6\sqrt{3}\text{ m}

Consultando a tabela fornecida (\sqrt{3} = 1{,}73):

D(t_2) = 0{,}6 \times 1{,}73 = 1{,}038\text{ m}

Como o anteparo executa movimento retilíneo uniforme (MRU), o módulo de sua velocidade é:

v = \frac{D(t_2) - D(t_1)}{\Delta t} = \frac{1{,}038 - 0{,}53}{2} = \frac{0{,}508}{2} = 0{,}254\text{ m/s}

d) Distância percorrida desde o instante t_1 para observar apenas 1 máximo

Para que reste apenas 1 máximo no anteparo (o máximo central m = 0), as franjas de ordem m = \pm 1 devem deixar o anteparo, atingindo sua borda:

y_1 = \frac{L}{2} = 0{,}6\text{ m}

Para m = 1:

\sin\theta_1 = \frac{1}{4}

\cos\theta_1 = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{15}}{4}

\tan\theta_1 = \frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1} = \frac{1}{\sqrt{15}}

A distância D_1 necessária é:

D_1 = \frac{y_1}{\tan\theta_1} = 0{,}6\sqrt{15}\text{ m}

Consultando a tabela fornecida (\sqrt{15} = 3{,}87):

D_1 = 0{,}6 \times 3{,}87 = 2{,}322\text{ m}

A distância percorrida pelo anteparo desde o instante t_1 é:

\Delta s = D_1 - D(t_1) = 2{,}322 - 0{,}53 = 1{,}792\text{ m}

Resposta final: a) afastando-se; b) 0,53 m; c) 0,254 m/s; d) 1,792 m

Gemini 4 Argon

Respondeu · bate com a resposta de referência dos cursinhos

a) Afastando-se da rede; b) 0,53 m; c) 0,254 m/s; d) 1,792 m

levou 1 min 09 s

Como pensou

**Analyzing Diffraction Setup** I'm currently dissecting the problem's core, focusing on how a monochromatic light beam interacts orthogonally with a diffraction grating, leading to narrow fringes. My immediate next step is to fully comprehend the implications of this setup for fringe formation and observation, as suggested by the problem's initial description. **Calculating Fringe Count** I'm now analyzing how the number of observed fringes changes over time. Specifically, I'm focusing on the rate at which the fringe count decreases, which will help determine the screen's movement relative to the grating. **Refining Grating Spacing** I'm focusing on the grating's vertical resolution and its implication for diffraction. I've calculated the grating spacing as $2.5 \times 10^{-6}$ m, or 2500 nm. My next step is to apply the diffraction condition for maxima ($d \sin\theta_m = m \lambda$) to this specific setup. **Confirming Fringe Orders** I've confirmed that the $m=\pm 3$ orders correspond to the edge of the screen. This means when the fringe count drops from 7 to 5, the $\pm 3$ orders are just leaving the view. **Calculating Fringe Positions** I am currently calculating the vertical positions of the fringe maxima based on the grating spacing and wavelength. My focus is on determining how these positions change as the screen moves, specifically identifying when the $\pm 2$ and $\pm 1$ orders coincide with the screen edges. **Determining Screen Velocity** I've successfully calculated the initial distance ($D_1 = 0.53$ m) where the third-order fringes align with the screen edges, confirming the problem's consistency. Now, I'm analyzing the second scenario where second-order fringes mark the screen edges to determine the screen's velocity. **Calculating Screen Velocity** I've refined my calculations for the screen's velocity. Using the derived $\tan\theta_2$ and a precise value for $\sqrt{3}$, I determined the second distance $D_2$ to be 1.038 m. This allowed me to compute the screen's speed as 0.254 m/s (25.4 cm/s) assuming uniform rectilinear motion. **Calculating Distances** I am now calculating the distance $D_3$ where only the central maximum ($m=0$) is visible. This occurs when the first-order maxima ($m = \pm 1$) reach the screen edges. Using the grating spacing and calculated $\tan\theta_1$, I found $D_3$ to be approximately 2.322 m. **Determining Traveled Distance** I am now calculating the distance traveled from the point where the third-order fringes left the screen ($D_1$) until only the central maximum is visible ($D_3$). This difference, $\Delta D = D_3 - D_1$, is approximately 1.792 m. I am carefully reviewing all calculations and interpretations to ensure accuracy. **Verifying Calculation Strategy** My thoughts are now focused on confirming the exact methodology. I've verified that the values for $\sqrt{7}$, $\sqrt{3}$, and $\sqrt{15}$ appearing in my calculations strongly suggest the intended approach for this problem. This gives me high confidence in the numbers and the strategy being used.

Resolução:

Inicialmente, determinamos o espaçamento d entre duas fendas adjacentes da rede de difração a partir da sua resolução vertical (N = 400\text{ linhas/mm}):

d = \frac{1\text{ mm}}{400} = \frac{10^{-3}\text{ m}}{400} = 2,5 \times 10^{-6}\text{ m} = 2500\text{ nm}

Para incidência normal, a condição para a ocorrência de máximos de interferência de ordem m (m \in \mathbb{Z}) na rede de difração é dada por:

d \sin\theta_m = m \lambda \implies \sin\theta_m = m \frac{\lambda}{d}

Substituindo \lambda = 625\text{ nm} e d = 2500\text{ nm}:

\sin\theta_m = m \frac{625}{2500} = \frac{m}{4}

Como o anteparo é plano, centralizado e paralelo à rede, a distância vertical y_m do máximo de ordem m ao centro do anteparo (onde se encontra o máximo central m = 0), quando o anteparo está a uma distância D da rede, é:

y_m = D \tan\theta_m

Para que o par de máximos de ordem \pm m seja observado no anteparo de comprimento L = 1,2\text{ m}, devemos ter:

y_m \le \frac{L}{2} = 0,6\text{ m}

a) Como os ângulos de difração \theta_m dependem apenas de \lambda e d, eles são constantes no tempo. Pela relação y_m = D \tan\theta_m, à medida que a distância D aumenta, a posição vertical y_m de cada máximo de ordem m \neq 0 afasta-se do centro do anteparo, fazendo com que os máximos de ordens mais elevadas ultrapassem o limite L/2 e deixem de incidir sobre o anteparo.

Portanto, como o número de franjas observadas está diminuindo com o tempo (passando de 7 para 5 e depois para 3), conclui-se que D está aumentando, ou seja, o anteparo está afastando-se da rede.

b) Como a figura de difração é simétrica em relação ao máximo central (m = 0), a observação de 7 máximos corresponde às ordens m = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3.

No instante t_1, o número de máximos passa de 7 para 5, o que significa que os máximos de ordem m = \pm 3 estão exatamente nas extremidades superior e inferior do anteparo (y_3 = L/2 = 0,6\text{ m}).

Para m = 3, temos:

\sin\theta_3 = \frac{3}{4} \implies \cos\theta_3 = \sqrt{1 - \sin^2\theta_3} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}

\tan\theta_3 = \frac{\sin\theta_3}{\cos\theta_3} = \frac{3}{\sqrt{7}}

Logo, a distância D_1 do anteparo à rede no instante t_1 é:

D_1 = \frac{L/2}{\tan\theta_3} = \frac{0,6}{3/\sqrt{7}} = 0,2\sqrt{7}

Utilizando o valor tabelado \sqrt{7} = 2,65:

D_1 = 0,2 \times 2,65 \implies D_1 = 0,53\text{ m}

c) No instante t_2 = t_1 + 2\text{ s}, o número de máximos passa de 5 para 3, indicando que os máximos de ordem m = \pm 2 atingiram as bordas do anteparo (y_2 = L/2 = 0,6\text{ m}).

Para m = 2, temos:

\sin\theta_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies \cos\theta_2 = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tan\theta_2 = \frac{\sin\theta_2}{\cos\theta_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}

A distância D_2 do anteparo à rede no instante t_2 é:

D_2 = \frac{L/2}{\tan\theta_2} = \frac{0,6}{1/\sqrt{3}} = 0,6\sqrt{3}

Utilizando o valor tabelado \sqrt{3} = 1,73:

D_2 = 0,6 \times 1,73 = 1,038\text{ m}

Como o anteparo descreve um movimento retilíneo uniforme, o módulo de sua velocidade v é:

v = \frac{D_2 - D_1}{\Delta t} = \frac{1,038 - 0,53}{2} = \frac{0,508}{2} \implies v = 0,254\text{ m/s}

d) Para que passe a ser observado apenas 1 máximo no anteparo (o máximo central m = 0), os máximos de ordem m = \pm 1 devem atingir as extremidades do anteparo (y_1 = L/2 = 0,6\text{ m}).

Para m = 1, temos:

\sin\theta_1 = \frac{1}{4} \implies \cos\theta_1 = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}

\tan\theta_1 = \frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1} = \frac{1}{\sqrt{15}}

A distância D_3 do anteparo à rede nesse instante é:

D_3 = \frac{L/2}{\tan\theta_1} = \frac{0,6}{1/\sqrt{15}} = 0,6\sqrt{15}

Utilizando o valor tabelado \sqrt{15} = 3,87:

D_3 = 0,6 \times 3,87 = 2,322\text{ m}

Portanto, a distância \Delta D percorrida pelo anteparo desde o instante t_1 até esse momento é:

\Delta D = D_3 - D_1 = 2,322 - 0,53 \implies \Delta D = 1,792\text{ m}

Resposta final: a) Afastando-se da rede; b) 0,53 m; c) 0,254 m/s; d) 1,792 m

GPT-6.1 Terra

Respondeu · bate com a resposta de referência dos cursinhos

a) afastando-se; b) 0{,}53\,\text{m}; c) 0{,}254\,\text{m/s}; d) 1{,}79\,\text{m}.

levou 14 s

Como pensou

A distância entre linhas da rede é

d=\frac{1}{400}\,\text{mm}=2{,}5\,\mu\text{m}.

Para o máximo de ordem m, a equação da rede fornece

d\sin\theta_m=m\lambda \quad\Rightarrow\quad \sin\theta_m=\frac{m}{4}.

Se x é a distância entre a rede e o anteparo, a posição desse máximo em relação ao centro é

y_m=x\tan\theta_m.

Cada par de máximos deixa o anteparo quando |y_m| atinge L/2=0{,}6\,\text{m}.

a) Como |y_m| aumenta com x, a diminuição do número de máximos observados indica que o anteparo está afastando-se da rede.

b) A passagem de 7 para 5 máximos ocorre quando os máximos de ordem m=\pm3 saem pelas bordas. Como

\sin\theta_3=\frac34 \quad\Rightarrow\quad \tan\theta_3=\frac{3}{\sqrt7},

temos

0{,}6=x(t_1)\frac{3}{\sqrt7} \quad\Rightarrow\quad x(t_1)=0{,}2\sqrt7\approx 0{,}53\,\text{m}.

c) Em t_1+2\,\text{s}, saem os máximos de ordem m=\pm2. Logo,

\sin\theta_2=\frac12,\qquad \tan\theta_2=\frac1{\sqrt3},

e a distância correspondente é

x(t_1+2)=0{,}6\sqrt3\,\text{m}.

Como o movimento é uniforme,

v=\frac{0{,}6\sqrt3-0{,}2\sqrt7}{2} \approx 0{,}254\,\text{m/s}.

d) Restará apenas o máximo central quando os máximos de primeira ordem saírem pelas bordas. Para m=1,

\sin\theta_1=\frac14,\qquad \tan\theta_1=\frac1{\sqrt{15}},

de modo que a distância da rede nesse limiar é x=0{,}6\sqrt{15}\,\text{m}. Assim, a distância percorrida desde t_1 é

\Delta x=0{,}6\sqrt{15}-0{,}2\sqrt7 \approx 1{,}79\,\text{m}.

Resposta final: a) afastando-se; b) 0{,}53\,\text{m}; c) 0{,}254\,\text{m/s}; d) 1{,}79\,\text{m}.