Questão 6 (Física)

**Refining Calculation Steps** I’m rounding the values given, preparing the equations with specified parameters like b5, sqrt(3), and c1067.84. I need to discuss potential subtle issues with external thrust, but I’ll just ignore that here since we have constant velocity—tension is key to focus on. I shouldn't introduce unnecessary complexity. Let's polish everything, ensuring titles and explanations are in order, particularly for Doppler and geometry B. I’ll finalize with a concise results line in the correct units.

**Considering candidate development** I'm thinking about including candidate development details related to specific item formulas and values. It seems I might need around 600 words total, but maybe 400 Portuguese words would suffice? I need to consider using the formula, particularly the sine of theta (sin θ = R/L * √3/2 * cos(θ1/2)). It's all a bit technical, but I want to ensure I'm clear and accurate in explaining these concepts!

**Calculating forces in motion** I'm considering calculating the vertical force due to centripetal force. I want to express the vertical tension component, using potentially the wrong tension value. I'm thinking about the radius from the axis to the object and how tension might relate to this. It seems like geometric relationships between angles and distances could play a role, especially when observing from different points, and I need to incorporate the effects of velocity relative to the observer to finalize my calculations.**Exploring tension and forces** I'm thinking about how to compute tension using centripetal acceleration, which could be derived from angular speed and the radius. It strikes me that the supplied 34²/√3 could be useful for calculating tension if I consider centripetal acceleration at point B. This might involve using the radial speed, where the tangential velocity at B is 68, giving a projected component of 34. It feels like I'm piecing together a puzzle here!

I'm working out the circle setup: a source moving counterclockwise with A at the bottom of the circle where the tangent line runs horizontally to observer O, meaning the velocity at A is directed along that tangent line. At A, the source moves straight toward O, so using the Doppler ratio c/(c−v) = 5/4 gives v = c/5 = 68 m/s. At B, the top of the circle, velocity is horizontal and away from the line to O, so I set up the radial component using the geometry between B, O, and the circle's diameter, and solving c + v_r = 11c/10 gives v_r = c/10 = 34 m/s. Combining both results, I get d² + 4R² = 4d², which simplifies to R = d√3/2. Now for the distance, R = 5√3 ≈ 8.66 m. For the tension, I treat this as a conical pendulum: sinθ = R/L = √3/2, so θ = 60°, and R sinθ comes out to 7.5 m. Then computing T = √3 · 68² / 7.5 gives roughly 1067.8 N, though I notice this doesn't quite match an expected simpler form like 34²/√3, so I want to double check the setup. For the vertical balance, I set the buoyant-type force E equal to mg + T cosθ, getting E ≈ 551.2 N, then dividing by ρg to find a volume of about 0.0551 m³. I also confirm that the segment from A tangent to the circle aligns with the line AO shown in the figure, which checks out.

I'm picturing the setup from above: the object circles at the pool's surface with the observer stationed at point O, tangent to the circle at point A, with sound traveling through air at 340 m/s. Moving counterclockwise, at point A (the bottom of the circle) the object's velocity points to the right, toward O's side. Setting up the Doppler relations at A gives me speed u = v/5 = 68 m/s for the frequency ratio 5/4. Then applying the Doppler shift at point B, I solve for the radius geometrically, finding R = 5√3 ≈ 8.66 m, which puts the angle from vertical at α = 60°. Now I'm checking this against the dynamics by computing the centripetal acceleration and required tension, getting T ≈ 1068 N, though the numbers don't quite match what I'd expect, so I want to double check this calculation. Working through the vertical force balance, the tension's vertical component plus gravity equals the buoyant force, giving volume V ≈ 0.0551 m³ ≈ 55.1 liters.

I'm setting up the top-view geometry: a vertical circle with A at the bottom and B at the top, center C between them, and point O located 10 m to the right of A along the tangent line at A. Since motion is counterclockwise viewed from above, the velocity at A points rightward and at B points leftward. At A, the velocity is directed straight toward O, so applying the Doppler relation with f = 5f₀/4 gives v = 68 m/s. At B, I project the velocity onto the line connecting B to O, solve using f = 10f₀/11, and find D = 20 m, which leads to R² = 75, so R = 5√3 ≈ 8.66 m. For the tension part, I use the wire length L = 10 m with radius R = 5√3 to get sinθ = √3/2. So T ≈ 1068 N. Now for the vertical direction: E = mg + T cosθ = 17.32 + 533.9 ≈ 551.2 N, giving buoyant volume V = E/(ρg) ≈ 0.0551 m³.

The problem is in Portuguese from the 2027 IME physics exam. The problem involves a sound source on a spherical shell attached to a string of length 10 m, executing uniform circular motion in a pool. An observer on the surface perceives frequencies 5f₀/4 and 10f₀/11 at points A and B. Given mass √3 kg, gravity 10 m/s², and distance AO 10 m, I need to solve this step by step. Additional data: water density 1000 kg/m³, sound speed 340 m/s, √3 ≈ 1.732. The observer is in the same plane as the circular motion, and the object's submerged volume remains constant. I need to find the object's scalar speed, trajectory radius, string tension, and submerged volume. The object is partially submerged and floating. It moves in a circle tied to the pool bottom by a 10 m string. The motion resembles a conical pendulum in water with buoyancy. The object is at the water surface level, moving in a horizontal circle. The string runs from the pool bottom up to the partially submerged spherical shell. The Doppler effect applies to sound propagating through air. The observer is at point O, 10 m from A, and the source passes through points A and B. A is the lowest point on the circular path, closest to observer O. B is the highest point. The center of the circle lies directly above A. AO is horizontal, so the center lies directly above A. The Doppler effect depends on the velocity component toward O. Because AO equals L, the trajectory radius may be comparable to the observer distance. The Doppler formula for a moving source and stationary observer is being applied. The perceived frequency depends on the radial component of the source's velocity along the line connecting it to the observer. The Doppler formula is being refined to use the radial velocity component along the line connecting source and observer. Because the perceived frequency at point A is 5f₀/4, which exceeds the emitted frequency, the object must be moving toward the observer at that instant. At point B the perceived frequency is 10f₀/11, lower than the emitted frequency, so the object is moving away from the observer there. The motion is counterclockwise when viewed from above, with A at the bottom and B at the top. The velocity at point A is directed eastward, toward observer O. For counterclockwise motion, the tangent at the bottom point points to the right. The velocity at point A is exactly along the line AO, pointing directly toward the observer. The radial component of speed equals the full scalar speed v. The center of the circle lies directly above A, making CA perpendicular to AO. The Doppler formula for point A is now set up: the perceived frequency equals the emitted frequency multiplied by the speed of sound divided by the speed of sound minus the scalar speed v. The scalar speed is 68 m/s. The Doppler check at point B is next. A coordinate system is being set up with the center at the origin, A at (0, -R), O at (10, -R), and B at (0, R). The velocity at point B is horizontal and directed leftward. The Doppler analysis for this point is being refined by calculating the radial component of the source's velocity along the line connecting it to observer O. The Doppler formula is being corrected. The denominator should use the component of source velocity away from the observer, not toward it. This component equals the dot product of the source velocity and the unit vector pointing from the observer to the source. The radial component of velocity away from the observer at point B is being calculated. The unit vector from O to S has a magnitude D = √(10² + (2R)²). The source velocity is (-v, 0), so the component toward the observer equals 10v/D. The Doppler check at point B yields v_away = 34 m/s. This is consistent with the earlier scalar speed of 68 m/s and the distance D = √(10² + (2R)²). The analysis now turns to verifying point A, where the unit vector from observer O to source S is (-1, 0) and the counterclockwise velocity direction must be determined. The velocity at point A is confirmed to be (v, 0), pointing directly toward observer O. The radial component away from the observer equals -v, which matches the earlier Doppler result and validates the scalar speed of 68 m/s. The Doppler check at point B yields a distance BO of 20 m. Solving for the trajectory radius gives R = 5√3 m, or approximately 8.66 m. Both frequency equations are consistent with the scalar speed of 68 m/s and the radius found. The sound path is confirmed to be through air at the surface. The trajectory radius is R = 5√3 m. The next steps are finding the string tension and the submerged volume. A mechanical model is being set up with the attachment point at depth h below the surface. The object is partially submerged and floats at the water surface. The string length is 10 m and the horizontal radius is about 8.66 m, so the vertical distance from the pool bottom to the object is being calculated. The exact position of the object relative to the surface is being determined. The object is treated as a point mass at the surface. The pool depth H equals the square root of L² minus R². The pool depth is 5 m, so the string makes a 60° angle with the vertical. The object has mass √3 kg and is partially submerged. For uniform circular motion, the net force must provide centripetal acceleration. The motor likely maintains constant speed against negligible resistance. The forces acting on the object are gravity, buoyancy, and string tension. The motor may also provide torque to sustain the circular motion. The motor may be unnecessary if resistance is negligible. The object can maintain uniform circular motion through the balance of gravity, buoyancy, and string tension alone. The forces are being broken down: weight pulls downward, buoyancy pushes upward, and tension acts along the string toward the attachment point. The vertical component of tension is T/2, and the horizontal component is T√3/2. These balance the weight and provide the centripetal force m v²/R. The centripetal force equation is being solved numerically. With mass √3 kg, velocity 68 m/s, and radius 5√3 m, the horizontal tension component equals m v²/R = 924.8 N. The total string tension is therefore T = 924.8 × 2/√3 ≈ 1070 N. The value 68 m/s is noted as exactly twice 34 m/s. The exact symbolic value for the string tension is being reconsidered. The centripetal force equals 4×34²/5, so the total tension is 2×(4×34²/5)/√3. A rough decimal estimate gives about 1068 N, but the exact expression may be cleaner. The Doppler checks at points A and B are confirmed. The exact symbolic tension is 2×(4×34²/5)/√3, which evaluates to roughly 1067.9 N. This conflicts with the provided value of 34²/√3 ≈ 667.4 N. The discrepancy between the calculated tension and the provided value is being re-examined. The speed of 68 m/s and the Doppler geometry are being double-checked against the problem statement. The problem text is being re-read to verify the Doppler geometry. The calculated tension of about 1070 N does not match the provided value of 34²/√3 ≈ 667 N, so the exact expression may be needed. The exact tension is 1067.9 N, so the discrepancy with the provided 667.4 N is being traced to a possible error in the Doppler geometry or motion direction. The top-view description is being re-examined. The figure shows A at the bottom and O to the right. The object is in the lower right quadrant, so counterclockwise motion would carry it from A toward the right side. This raises a question about whether the velocity direction is correctly assigned for the Doppler analysis. The counterclockwise direction is being reconsidered. The figure may place point A as the closest point on the circle to observer O, which would change the velocity assignment for the Doppler analysis. The Doppler frequency at A being higher than at B confirms the counterclockwise motion. The velocity direction is therefore correct. The string tension is approximately 1067.9 N. The exact tension is T = (8/5) × 667.4 N. This equals 1067.84 N, which matches the earlier numerical result. The vertical tension component is T/2, about 533.9 N. Adding the weight of √3 kg gives a buoyant force of roughly 551 N. The submerged volume is therefore about 0.055 m³. This result seems awkward, so the exact symbolic form may be preferred. The point-particle approximation is confirmed. The awkward volume result may be acceptable for this exam, since the problem provides approximate values for numerical computation. The speed of 68 m/s is being reconsidered. The Doppler frequencies 5f0/4 and 10f0/11 might also be swapped. The Doppler frequencies are confirmed to be 5f0/4 at point A and 10f0/11 at point B. The geometry is consistent with these values and the intended radius of 5√3 m. The awkward tension and volume results are expected because the speed of 68 m/s does not simplify neatly with √3, so the provided value of 34²/√3 was likely given as a numerical aid. The final answers are approximately 68 m/s, 5√3 m, 1067.84 N, and 0.055124 m³. The object is motorized, so a thrust force may be acting. The problem says to disregard water resistance, which raises the question of why the motor is needed if gravity, buoyancy, and string tension alone could sustain the circular motion. The exact symbolic tension expression is being re-examined. It does not simplify to a clean number, so the possibility of a fundamental mistake in the Doppler geometry or sound propagation is being considered. The object is a hollow sphere, so its total volume can be large enough to satisfy the buoyancy condition. The submerged volume is therefore determined solely by the balance of forces, not by any fixed internal size. The awkward numerical results are intentional. The problem provides √3 and 34²/√3 as calculation helpers so students can compute without a calculator. The radius may be left as 5√3 m or converted to 8.66 m, since the problem gives √3=1.732. The candidate should report the radius as 5√3 m rather than converting it to a decimal. The tension calculation relied on the exact angle, so the numerical value of √3 was not strictly necessary there. The possibility that the object's speed might actually be 68 m/s is being reconsidered. The speed of 68 m/s is physically plausible for this problem despite being unrealistically high. The Doppler fractions 5/4 and 10/11 were deliberately chosen to yield exact numerical results. The final answers are confirmed as 68 m/s, 5√3 m, 1067.84 N, and 5.5124 × 10⁻² m³. The comma notation in the problem's data is being noted. The final response will be written in Portuguese. The top view geometry is being used to find the radius. The line from observer O to point A is tangent to the circle, with length 10 m. This gives a right triangle where the vertical radius and horizontal distance d=10 m form the legs. The distance from observer O to point B is being derived as √(100 + 4R²). The velocity at B is perpendicular to the radius, pointing horizontally left. The angle between this velocity and the line of sight toward O is now being calculated. The Doppler frequency at point B is used to confirm the away-velocity component as exactly 34 m/s. The vector from source B to observer O is being derived geometrically, with CB pointing upward vertically. The distance from observer O to point B is 20 m. This confirms the radius as 5√3 m. The vertical depth is 5 m, so the angle with the vertical is 60° and its cosine is 1/2. The horizontal component of tension provides the centripetal force, giving T·√3/2 = √3·v²/(5√3) = v²/5. With v = 68 m/s, this yields T = 1849,6/√3 N. The final answers are being formatted with commas as decimal separators to match the problem's notation. The tension and volume calculations are being double-checked numerically, and the radius is kept exact as 5√3 m.

Vamos resolver a questão passo a passo. Precisamos entender a geometria. Temos uma fonte sonora presa por um fio de comprimento L ao fundo da piscina. O objeto executa movimento circular uniforme (MCU) no plano horizontal? As figuras: vista lateral mostra a caixa esférica? Na verdade, "objeto motorizado em forma de casca esférica" preso por um fio de comprimento L ao fundo da piscina. Vista lateral: um retângulo (piscina) com uma linha pontilhada vertical (fundo?) e um fio L inclinado, com o objeto na extremidade superior. Vista superior: um círculo (trajetória) com centro no fundo? O ponto B está na parte superior do círculo (mais distante do observador O?), ponto A na parte inferior do círculo (mais próximo do observador O?). O observador O está no mesmo plano do movimento circular, na superfície da piscina. A distância AO = d = 10 m. Vamos analisar a geometria. O fio de comprimento L = 10 m prende o objeto ao fundo da piscina. O objeto se move circularmente uniformemente no plano horizontal? A vista superior mostra um círculo de raio R (a determinar). O centro do círculo é o ponto de fixação? O fio forma um cone, com o vértice no fundo da piscina. O comprimento do fio é L = 10 m, então a distância do objeto ao fundo é L. A vista lateral mostra o fio inclinado, e o objeto descreve um círculo horizontal. O raio R da trajetória é o raio da base do cone. A altura do cone é h, a profundidade do objeto em relação ao fundo? Na verdade, "fundo de uma piscina" é o ponto de fixação. O objeto está submerso? A piscina tem água, e o objeto é uma casca esférica. A vista lateral mostra a piscina com uma linha vertical pontilhada no centro (eixo de rotação). O fio L vai do fundo (centro) até o objeto. A altura vertical do objeto em relação ao fundo é h = sqrt(L^2 - R^2). O observador O está na superfície da piscina, no mesmo plano do movimento circular da fonte sonora. "mesmo plano que o movimento circular" significa que o plano horizontal da trajetória coincide com o plano horizontal que contém o observador? O observador está na superfície da piscina, então a trajetória circular está na superfície? Ou o plano do movimento é horizontal e contém o observador, que está na superfície. A distância AO = d = 10 m. A é um ponto da trajetória, provavelmente o mais próximo do observador. Vamos deduzir. Vista superior: o observador O está à direita, o círculo tem centro C (ponto de fixação? Não, o centro da trajetória circular). A linha pontilhada vertical passa por B (topo) e A (base). O ponto A está mais próximo de O. A distância AO = d = 10 m. O centro do círculo está a uma distância horizontal D de O. Se A é o ponto mais próximo, então a distância do centro a O é D = d + R? Ou D = d - R? Vamos ver: o círculo, A é o ponto mais próximo de O, então O está fora do círculo, a distância de O até A é d. A distância do centro C até O é d + R, se A está entre C e O? Na figura, A está na parte inferior do círculo, e O à direita. A distância AO é horizontal? A figura mostra A na vertical abaixo do centro, e O à direita, com uma linha pontilhada horizontal de A até O? Sim, a linha pontilhada de A até O parece horizontal. Então A está na mesma altura que O? Na vista superior, o círculo tem centro C, B no topo, A embaixo. O ponto O está à direita, na mesma linha horizontal que A? A linha pontilhada vai de A até O horizontalmente. Então a distância AO = d = 10 m é a distância entre A e O. O centro C está acima de A (na vista superior, verticalmente). A distância de C a A é R. A distância de C a O? Pela geometria, se A está na parte inferior do círculo e O está à direita de A na horizontal, então C está acima de A, e O está à direita de A, formando um triângulo retângulo? Na verdade, se A é o ponto mais baixo do círculo e O está na horizontal à direita de A, a linha CO não é necessariamente horizontal. Mas a distância AO = 10. Se o centro C está na vertical acima de A, então a coordenada de A é (0, -R) se C=(0,0). O ponto O está em (d, -R)? A linha pontilhada de A até O é horizontal, então O está na mesma linha horizontal que A, ou seja, mesma coordenada y que A. Assim, O = (d, -R). A distância de C a O é sqrt(d^2 + R^2). Mas o enunciado não dá a distância CO, apenas AO = d = 10. No entanto, para o efeito Doppler, precisamos da velocidade radial da fonte em relação ao observador. A frequência percebida depende da componente da velocidade da fonte ao longo da linha que liga a fonte ao observador. Vamos analisar as frequências observadas nos pontos A e B. Frequência emitida f0. Em A, o observador percebe 5f0/4. Em B, percebe 10f0/11. A fórmula do efeito Doppler para fonte em movimento e observador em repouso (ou ambos, mas observador parado na água? O observador está na superfície da piscina, no ar? O som se propaga na água? O enunciado dá velocidade do som no ar, v_som = 340 m/s. Mas a fonte está submersa? "fonte sonora ... acoplada a um objeto motorizado ... preso ... ao fundo de uma piscina." A água tem velocidade do som diferente? O enunciado só dá velocidade do som no ar. Mas o observador está na superfície da piscina, no ar? "Um observador localizado em O, na superfície da piscina" - provavelmente no ar. A fonte sonora está submersa? O objeto está submerso. O som se propaga da água para o ar? Isso complicaria. Mas o enunciado dá v_som = 340 m/s, que é a velocidade do som no ar. Talvez a fonte esteja na água, mas o som se propaga no ar? Ou o meio é o ar? A piscina tem água, mas a fonte pode estar acima da água? A vista lateral mostra o objeto dentro da água? O retângulo cinza é a água, e o objeto está dentro? A linha do fio vai do fundo até o objeto, que está dentro da água. Então o som se propaga na água. Mas o dado v_som = 340 m/s é típico do ar. Pode ser que a questão desconsidere a mudança de meio e considere que a velocidade do som é 340 m/s no meio (água?) ou o observador está na água? "na superfície da piscina" pode ser na água, na borda? Vamos considerar que o som se propaga no ar com v = 340 m/s. Mas a fonte está submersa, então o som atravessa a água e o ar. Isso afetaria o efeito Doppler? Normalmente, se a fonte e o observador estão em meios diferentes, a frequência não muda na refração? A frequência é invariante na refração. O efeito Doppler depende das velocidades relativas e da velocidade do som no meio onde a fonte e o observador estão. Se a fonte está na água, a velocidade do som na água é ~1500 m/s, então a fórmula usaria v_som na água. Mas o dado é 340 m/s, então provavelmente consideramos que o som se propaga no ar e a fonte também está no ar? Ou a fonte está na superfície? A figura mostra o objeto dentro da água. Mas o enunciado pode estar simplificando: "velocidade do som no ar: v_som = 340 m/s". Pode ser que a fonte esteja na água, mas o efeito Doppler é calculado como se o meio fosse o ar? Não faz sentido físico. Vamos ver as alternativas: as frequências são 5f0/4 e 10f0/11. Vamos calcular as velocidades radiais necessárias. Fórmula do efeito Doppler (fonte em movimento, observador em repouso, meio em repouso): f_obs = f0 * (v_som) / (v_som - v_r), onde v_r é a componente da velocidade da fonte na direção do observador (positiva se se aproxima, negativa se se afasta). Mas cuidado: a fórmula é f_obs = f0 * v_som / (v_som - v_fonte_radial), onde v_fonte_radial é a componente da velocidade da fonte na direção do observador (positiva quando a fonte se aproxima do observador). Se a fonte se aproxima, v_r > 0, denominador menor, frequência maior. Se se afasta, v_r < 0, frequência menor. Em A: f_obs = 5/4 f0 = 1.25 f0. Então v_som / (v_som - v_rA) = 5/4 => 4 v_som = 5 (v_som - v_rA) => 4 v_som = 5 v_som - 5 v_rA => 5 v_rA = v_som => v_rA = v_som / 5 = 340/5 = 68 m/s. Positivo, então a fonte está se aproximando do observador em A. Mas A é o ponto mais próximo do observador? Se a fonte está em movimento circular uniforme, no ponto mais próximo do observador, a velocidade é perpendicular à linha que liga ao observador? Vamos analisar a geometria. Vista superior: O observador está à direita. O círculo tem centro C. A está na parte inferior do círculo, B na parte superior. O ponto A é o mais próximo de O? A distância AO = 10. Se O está à direita de A, então a linha OA é horizontal. O centro C está verticalmente acima de A, então C = (0, -R) se A = (0,0)? Vamos definir coordenadas: A = (0,0). O = (10,0). C = (0, R)? Mas A é o ponto mais baixo do círculo, então C está acima de A: C = (0, R). O círculo tem raio R. B é o ponto mais alto: B = (0, 2R). O observador O = (10, 0). A distância de C a O é sqrt(10^2 + R^2). A distância de B a O é sqrt(10^2 + (2R)^2)? Não, B = (0, 2R), O = (10,0), então BO = sqrt(10^2 + (2R)^2) = sqrt(100 + 4R^2). Mas a fonte está em movimento circular uniforme. A velocidade é tangente ao círculo. No ponto A, a velocidade é horizontal (para a direita ou esquerda?). O movimento é anti-horário. Vista superior: o círculo, A embaixo, B em cima. Movimento anti-horário: em A (ponto mais baixo), a velocidade é para a direita (se o centro está acima, anti-horário significa que em A a velocidade é para a direita). Em B (ponto mais alto), a velocidade é para a esquerda. Mas o observador está à direita de A. Então em A, a velocidade é para a direita, ou seja, na mesma direção de A para O? A linha AO é horizontal para a direita. A velocidade em A é para a direita, então a fonte está se movendo diretamente para o observador? Se A está em (0,0) e O em (10,0), a velocidade em A é (v, 0) (para a direita). Então a componente radial da velocidade na direção de O é v (positiva, aproximando). Então v_rA = v. Assim, v = 68 m/s? Mas vamos ver em B. Em B, a velocidade é para a esquerda (-v, 0). O vetor de B para O é O - B = (10, -2R). A componente da velocidade na direção de O é (v_B . (O-B)/|O-B|). v_B = (-v, 0). Então a componente radial = (-v) * (10) / sqrt(100 + 4R^2) = -10 v / sqrt(100 + 4R^2). Negativa, indicando afastamento. A frequência observada em B é 10f0/11, que é menor que f0, consistente com afastamento. Vamos usar a fórmula para B: f_obs = 10/11 f0 = f0 * v_som / (v_som - v_rB), onde v_rB é a componente radial (negativa). Ou podemos usar f_obs = f0 * (v_som + v_rB?) / v_som? Vamos usar a fórmula padrão: f_obs = f0 * (v_som) / (v_som - v_r), onde v_r é a componente da velocidade da fonte na direção do observador (positiva se aproxima). Para B, v_rB = -10 v / sqrt(100 + 4R^2). Então: 10/11 = v_som / (v_som - v_rB) = 340 / (340 - v_rB) => 10 (340 - v_rB) = 11 * 340 => 3400 - 10 v_rB = 3740 => -10 v_rB = 340 => v_rB = -34 m/s. Então -10 v / sqrt(100 + 4R^2) = -34 => 10 v / sqrt(100 + 4R^2) = 34 => v / sqrt(100 + 4R^2) = 3.4. Mas de A, v_rA = v = 68 m/s? Vamos verificar: em A, f_obs = 5/4 f0 = 1.25 f0. 1.25 = 340 / (340 - v) => 1.25 (340 - v) = 340 => 425 - 1.25 v = 340 => 1.25 v = 85 => v = 68 m/s. Sim. Então v = 68 m/s. Substituindo na equação de B: 68 / sqrt(100 + 4R^2) = 3.4 => sqrt(100 + 4R^2) = 68 / 3.4 = 20. Então 100 + 4R^2 = 400 => 4R^2 = 300 => R^2 = 75 => R = sqrt(75) = 5√3 ≈ 8.66 m. Mas espera: a distância AO = d = 10 m. A geometria que assumimos: A = (0,0), O = (10,0), C = (0,R). Mas será que A é o ponto mais próximo do observador? A figura mostra A na parte inferior do círculo, e O à direita. A linha pontilhada de A até O é horizontal. Se o círculo tem centro C e raio R, e A é o ponto mais baixo, então C está acima de A. O ponto O está à direita de A. A distância AO = 10. Se A é o ponto mais próximo de O, então a linha AO passa pelo centro? Não, se O está à direita de A, e C está acima de A, então a linha CO não passa por A. A distância de O a A é 10. Mas a distância de O ao centro C é sqrt(10^2 + R^2). A distância de O ao ponto B é sqrt(10^2 + (2R)^2)? Não, B é o ponto mais alto, então B = (0, 2R). O = (10,0). BO = sqrt(10^2 + (2R)^2) = sqrt(100 + 4R^2). Isso é exatamente o que usamos. Então nossa geometria está consistente com a figura? A figura mostra o círculo, B no topo, A embaixo, e O à direita, com uma linha pontilhada de A até O. Sim. E a linha do centro C até A é vertical? Na figura, há uma linha pontilhada vertical passando por B e A? A vista superior mostra uma linha vertical pontilhada de B até A, passando pelo centro? Sim, a linha pontilhada vertical passa por B e A. Então C está nessa linha vertical, entre B e A. A distância CA = R, CB = R. Então A e B estão em extremos opostos do diâmetro vertical. O observador O está à direita, na mesma horizontal que A? A linha pontilhada de A até O é horizontal. Então O está na mesma altura que A. Assim, a geometria é: C = (0, R), A = (0, 0), B = (0, 2R), O = (10, 0). Isso faz sentido. Agora, o raio da trajetória R = 5√3 m ≈ 8.66 m. Mas o fio tem comprimento L = 10 m. A altura vertical do objeto em relação ao fundo (ponto de fixação) é h = ? O fio vai do fundo (que é o centro de rotação? O fundo é o ponto de fixação, que é o centro do círculo? Na vista superior, o centro do círculo é o ponto C. Mas o fio está preso ao fundo da piscina. O fundo da piscina é um ponto? A vista lateral mostra o fio saindo de um ponto no fundo (uma linha vertical pontilhada) e indo até o objeto. A vista superior mostra o centro do círculo C. Então o ponto de fixação no fundo é o centro C? Mas C está no plano do movimento? A vista superior mostra o círculo e o centro C. O ponto de fixação está no fundo, então a projeção vertical do centro C no fundo. A altura do objeto em relação ao fundo é a profundidade. O fio tem comprimento L = 10 m. O raio R = 5√3. A altura h (vertical) satisfaz R^2 + h^2 = L^2 => (5√3)^2 + h^2 = 10^2 => 75 + h^2 = 100 => h^2 = 25 => h = 5 m. Então o objeto está a 5 m acima do fundo. A piscina tem profundidade? O observador está na superfície da piscina, no mesmo plano do movimento circular. Se o movimento circular está a uma altura h do fundo, e o observador está na superfície, então a superfície está a uma altura h do fundo? "o observador está no mesmo plano que o movimento circular da fonte sonora" significa que o plano horizontal do movimento circular coincide com a superfície da água? Ou o observador está na superfície da piscina, e o movimento circular também está nesse plano horizontal? A vista lateral mostra a piscina com uma linha vertical pontilhada (fundo) e o objeto no topo. A superfície da água é a linha superior? A vista lateral mostra um retângulo cinza (água) com uma linha superior. O objeto está na superfície? Na figura, o objeto (círculo preto) está no topo do retângulo, na linha superior. Então o movimento circular ocorre na superfície da água. O observador está na superfície da piscina, no mesmo plano. Portanto, a profundidade do objeto é 0? Mas o fio tem L=10, e R=5√3≈8.66, então h=5 m. Se o objeto está na superfície, então a profundidade da piscina é 5 m. O fundo está a 5 m abaixo da superfície. O fio vai do fundo até a superfície, formando um cone. Isso é consistente: o objeto se move na superfície, e o fio está inclinado, com a extremidade inferior fixa no fundo, a 5 m de profundidade. A distância horizontal do centro (ponto de fixação) à trajetória é R = 5√3 m. A altura é 5 m. O comprimento do fio é sqrt(R^2 + h^2) = sqrt(75 + 25) = 10 m. OK. Agora vamos aos itens. a) a velocidade escalar do objeto; Já calculamos v = 68 m/s. Mas vamos revisar: a velocidade escalar é constante (MCU). v = 68 m/s. b) o raio da trajetória; R = 5√3 m ≈ 8,66 m. O enunciado dá √3 = 1,732, então 5*1,732 = 8,66 m. c) a tração no fio; Precisamos considerar as forças no objeto. O objeto é uma casca esférica submersa. Forças: tração T no fio, peso P = mg, empuxo E = ρ V g (para o volume submerso). O movimento é circular uniforme em um plano horizontal. A aceleração centrípeta é horizontal, dirigida ao centro. A componente horizontal da tração fornece a força centrípeta. A componente vertical da tração equilibra o peso e o empuxo. Mas o objeto é uma casca esférica. O volume submerso? O item d pergunta o volume do objeto que permanece submerso. A observação diz: "considere que o volume submerso do objeto não se altera durante o movimento; para efeito de cálculos desconsidere a resistência da água e as dimensões do objeto, que só devem ser consideradas no cálculo do empuxo." Então o objeto tem um volume V_sub que permanece constante. O empuxo é E = ρ V_sub g. O peso é m g. A massa é dada: m = √3 kg ≈ 1,732 kg. Vamos calcular a tração T. O fio forma um ângulo θ com a vertical. O raio R = 5√3, altura h = 5. Então tan θ = R/h = (5√3)/5 = √3. Portanto θ = 60°. O fio faz 60° com a vertical. Componente vertical: T cos θ + E = P? Ou T cos θ + E - P = 0 (se o objeto está em equilíbrio vertical). Vamos ver os sinais: O empuxo é para cima, o peso para baixo, a componente vertical da tração é para cima (o fio puxa o objeto para cima em direção ao ponto de fixação? O fio vai do objeto até o fundo. O objeto está acima do fundo. A tração no fio puxa o objeto em direção ao fundo, ou seja, para baixo e para o centro. Então a componente vertical da tração é para baixo! Cuidado. O fio está preso no fundo. O objeto está na superfície, acima e afastado do ponto de fixação. A tração no fio atua no objeto puxando-o na direção do fio, ou seja, para baixo (em direção ao fundo) e para o centro. Então a componente vertical da tração é para baixo. A componente horizontal é para o centro (fornece a centrípeta). O empuxo é para cima. O peso é para baixo. Então, no equilíbrio vertical: T cos θ (para baixo) + P (para baixo) = E (para cima) T cos θ + m g = E T cos θ = E - m g Mas E = ρ V_sub g. Ainda não conhecemos V_sub. O item c pede a tração, e o item d pede o volume submerso. Talvez possamos encontrar T sem V_sub? Não, precisamos de E. Mas talvez a tração seja calculada apenas com a componente centrípeta? Não, a tração tem componente vertical. Precisamos de E. Mas o item d é depois. Podemos expressar T em função de V_sub, mas o item c pede um valor numérico. Talvez o volume submerso seja tal que o objeto flutue? Mas ele está preso por um fio. O fio pode estar tensionado para baixo, o que significa que o empuxo é maior que o peso, então o objeto tende a subir, e o fio o puxa para baixo. Vamos ver: m = √3 ≈ 1,732 kg. Peso P = 1,732 * 10 = 17,32 N. Se o empuxo E for maior que P, a tração tem componente vertical para baixo. Se E < P, a tração teria componente vertical para cima? Mas o fio só pode puxar, não empurrar. Se E < P, o objeto não poderia estar na superfície a menos que o fio o puxe para cima? Mas o fio está preso no fundo, então ele só puxa para baixo. Se E < P, o objeto afundaria, a menos que o fio esteja esticado para cima? Não, o fio está preso no fundo e o objeto está acima, então o fio puxa para baixo. Se E < P, a resultante vertical seria para baixo, e o objeto afundaria, mas o fio impediria? Na verdade, se E < P, o objeto tenderia a afundar, e o fio ficaria frouxo? Não, o fio está esticado porque o objeto está se movendo circularmente, e a tração fornece a força centrípeta. Mesmo que E < P, a componente vertical da tração pode ser para cima? Não, a tração atua ao longo do fio, puxando o objeto em direção ao ponto de fixação. Como o ponto de fixação está abaixo do objeto, a tração tem componente vertical para baixo. Então T cos θ é para baixo. Para o equilíbrio vertical, a soma das forças para cima deve igualar a soma para baixo. A única força para cima é o empuxo. Então E = P + T cos θ. Isso significa que E > P. Portanto, o empuxo é maior que o peso. Isso é possível se o objeto for oco (casca esférica) e o volume submerso for grande o suficiente. Então E > P, e o fio puxa para baixo. Mas ainda precisamos de E. Vamos usar a condição de que o volume submerso é constante. Talvez possamos calcular a tração usando a componente centrípeta? A força centrípeta é fornecida pela componente horizontal da tração: T sin θ = m v^2 / R. Isso é independente de E! Sim, porque a aceleração centrípeta é horizontal, e a única força horizontal é a componente horizontal da tração (a resistência da água é desprezada). Então podemos calcular T diretamente da equação centrípeta. Vamos calcular: T sin θ = m v^2 / R θ = 60°, sin 60° = √3/2. m = √3 kg. v = 68 m/s. R = 5√3 m. T * (√3/2) = √3 * (68^2) / (5√3) = √3 * 4624 / (5√3) = 4624 / 5 = 924,8 N. Então T = 924,8 / (√3/2) = 924,8 * 2 / √3 = 1849,6 / √3 ≈ 1849,6 / 1,732 ≈ 1067,9 N? Vamos calcular com precisão. Mas o enunciado dá 34^2 / √3 = 667,4. Isso pode ser útil. Vamos ver: 34^2 = 1156. 1156 / √3 ≈ 667,4. Sim. Vamos calcular T de outra forma: T sin θ = m v^2 / R. v = 68 = 2 * 34. v^2 = 4 * 34^2 = 4 * 1156 = 4624. R = 5√3. m = √3. Então m v^2 / R = √3 * 4624 / (5√3) = 4624 / 5 = 924,8 N. T = (m v^2 / R) / sin θ = 924,8 / (√3/2) = 1849,6 / √3. 1849,6 / √3 = (1849,6/√3). Mas 34^2/√3 = 667,4. Então 1849,6 = ? 1849,6 / 34^2 = 1849,6 / 1156 = 1.6. Então 1849,6 = 1.6 * 1156 = 1.6 * 34^2. Então T = 1.6 * 34^2 / √3 = 1.6 * 667,4 = 1067,84 N. Exatamente 1067,84 N? Vamos ver: 1.6 * 667.4 = 1067.84. Sim. Mas espera, a componente centrípeta é T sin θ. Então T = 1067,84 N. Vamos confirmar com cálculo exato: T = (√3 * (68)^2 / (5√3)) / (√3/2) = (68^2 / 5) * (2/√3) = (4624/5) * (2/√3) = 9248 / (5√3) = 1849,6 / √3. Usando 34^2/√3 = 667,4: 1849,6 / √3 = (1849,6/1156) * (34^2/√3) = 1.6 * 667.4 = 1067.84 N. OK. Mas o item c pede a tração no fio. Será que precisamos considerar a componente vertical também? A tração é a mesma ao longo do fio. A equação centrípeta já nos dá T. A componente vertical da tração será T cos θ = T * 1/2 = 533,92 N. Então o empuxo E = P + T cos θ = 17,32 + 533,92 = 551,24 N. Isso é possível. Mas vamos verificar se o volume submerso calculado no item d é consistente. O volume submerso V_sub = E / (ρ g) = 551,24 / (1000 * 10) = 0,055124 m³ = 55,124 litros. Mas o objeto é uma casca esférica de massa 1,732 kg. Se V_sub = 0,055 m³, a densidade média seria 1,732 / 0,055 = 31,5 kg/m³, muito menor que a água. Isso é plausível para uma casca esférica oca. Mas vamos ver se o item d pede o volume do objeto que permanece submerso. Pode ser que o volume submerso seja uma fração do volume total. Mas o enunciado diz "volume do objeto que permanece submerso". Então é o volume de água deslocado, que calculamos via empuxo. No entanto, precisamos ter cuidado: a tração no fio é a força que o fio exerce no objeto. Nós calculamos T = 1067,84 N. Mas será que a tração é essa? Vamos rever a fórmula do movimento circular. O objeto executa MCU em um plano horizontal. A aceleração centrípeta é horizontal. A força resultante horizontal é a componente horizontal da tração. A componente vertical da tração não contribui para a centrípeta. Então T sin θ = m v^2 / R é correto. T = 1067,84 N. Mas espere, o ângulo θ é o ângulo entre o fio e a vertical. Nós calculamos tan θ = R/h = (5√3)/5 = √3, então θ = 60°. Isso está correto? O fio tem comprimento L = 10. O raio R = 5√3. A altura h = 5. Então sin θ = R/L = (5√3)/10 = √3/2, então θ = 60°. cos θ = h/L = 5/10 = 1/2. OK. Agora, o item d: o volume do objeto que permanece submerso. Nós calculamos E = P + T cos θ = mg + T cos θ. Vamos calcular com precisão: m = √3 kg ≈ 1,732 kg. g = 10 m/s². P = 10√3 ≈ 17,32 N. T = 1849,6 / √3 ≈ 1067,84 N. T cos θ = T * 1/2 = 533,92 N. E = P + T cos θ = 10√3 + 1849,6/(2√3) = 10√3 + 924,8/√3. Vamos calcular exatamente: E = 10√3 + 924,8/√3 = (10*3 + 924,8)/√3 = (30 + 924,8)/√3 = 954,8/√3 N. Mas 924,8 = ? Vamos manter frações. T = 1849,6 / √3 = (1849,6) / √3. T cos θ = 1849,6 / (2√3) = 924,8 / √3. P = 10√3 = 30/√3. Então E = (30 + 924,8)/√3 = 954,8/√3 N. V_sub = E / (ρ g) = (954,8/√3) / (1000 * 10) = 954,8 / (10000√3) m³. 954,8 / (10000*1,732) = 954,8 / 17320 ≈ 0,05512 m³. Mas o enunciado dá 34^2/√3 = 667,4. Vamos expressar E em termos de 34^2. E = 954,8/√3 = (954,8 / 1156) * (34^2/√3) = (0,826) * 667,4? Não é exato. Vamos calcular de forma exata usando os dados fornecidos. m = √3. v = 68. R = 5√3. T = m v^2 / (R sin θ) = √3 * 68^2 / (5√3 * (√3/2)) = 68^2 / (5 * √3/2) = 68^2 * 2 / (5√3) = 4624 * 2 / (5√3) = 9248 / (5√3) = 1849,6 / √3. T cos θ = 1849,6 / (2√3) = 924,8 / √3. P = m g = 10√3 = 30/√3. E = P + T cos θ = (30 + 924,8)/√3 = 954,8/√3. V_sub = E / (ρ g) = (954,8/√3) / (10000) = 954,8 / (10000√3) = 0,09548 / √3 m³. Como 1/√3 = √3/3 ≈ 0,57735, V_sub ≈ 0,09548 * 0,57735 ≈ 0,05512 m³. Mas o enunciado fornece 34^2/√3 = 667,4. Vamos tentar expressar V_sub usando isso. 954,8 = 34^2 * ? 34^2 = 1156. 954,8 / 1156 = 0,826. Não é uma fração simples. Talvez eu tenha cometido um erro no cálculo da tração? Vamos revisar o efeito Doppler e a velocidade. Talvez a velocidade v não seja 68 m/s. Vamos recalcular a partir das frequências. Temos f_A = 5f0/4 e f_B = 10f0/11. Fórmula do efeito Doppler: f_obs = f0 * (v_som) / (v_som - v_r), onde v_r é a componente da velocidade da fonte na direção do observador (positiva se aproxima). Em A: v_rA = v (aproximando). f_A = f0 * v_som / (v_som - v) = 5/4 f0. => v_som / (v_som - v) = 5/4 => 4 v_som = 5 v_som - 5 v => v = v_som / 5 = 340/5 = 68 m/s. Correto. Em B: v_rB = - v * cos φ, onde φ é o ângulo entre a velocidade em B e a linha BO. Em B, a velocidade é horizontal para a esquerda. A linha BO vai de B (0, 2R) a O (10, 0). O vetor BO = (10, -2R). O vetor velocidade em B = (-v, 0). O produto escalar v_B . (O-B) = (-v)*10 + 0*(-2R) = -10v. O módulo de BO = sqrt(10^2 + (2R)^2) = sqrt(100 + 4R^2). Então v_rB = (-10v) / sqrt(100 + 4R^2). Negativo, como esperado. f_B = f0 * v_som / (v_som - v_rB) = 10/11 f0. => 340 / (340 - v_rB) = 10/11 => 340 * 11 = 10 * (340 - v_rB) => 3740 = 3400 - 10 v_rB => 340 = -10 v_rB => v_rB = -34 m/s. Então -10v / sqrt(100 + 4R^2) = -34 => 10v / sqrt(100 + 4R^2) = 34 => v / sqrt(100 + 4R^2) = 3.4. Com v = 68, 68 / sqrt(100 + 4R^2) = 3.4 => sqrt(100 + 4R^2) = 68/3.4 = 20 => 100 + 4R^2 = 400 => 4R^2 = 300 => R^2 = 75 => R = 5√3. Correto. Agora, vamos verificar a geometria do fio. O fio tem comprimento L = 10 m. A altura h = sqrt(L^2 - R^2) = sqrt(100 - 75) = 5 m. OK. Agora, vamos calcular a tração. A força centrípeta é m v^2 / R. A componente horizontal da tração é T sin θ, onde θ é o ângulo entre o fio e a vertical. sin θ = R/L = (5√3)/10 = √3/2. Então T = m v^2 / (R sin θ) = m v^2 / (R * (R/L)) = m v^2 L / R^2. Vamos calcular: m = √3, v = 68, L = 10, R^2 = 75. T = √3 * 68^2 * 10 / 75 = √3 * 4624 * 10 / 75 = √3 * 46240 / 75 = √3 * 616,533... = 1067,84 N? Vamos calcular exato: 46240 / 75 = 616,5333... = 4624/7,5? Melhor: 4624 * 10 / 75 = 46240 / 75 = 18496 / 30 = 9248 / 15. Então T = √3 * 9248 / 15 = 9248√3 / 15 ≈ 9248 * 1,732 / 15 ≈ 16017,5 / 15 ≈ 1067,83 N. Mesmo valor. A componente vertical da tração é T cos θ = T * (h/L) = T * (5/10) = T/2 = 533,92 N. Empuxo E = P + T cos θ = mg + T/2 = 10√3 + 9248√3 / 30 = (10 + 9248/30)√3 = (300/30 + 9248/30)√3 = (9548/30)√3 = (4774/15)√3 ≈ 551,24 N. V_sub = E / (ρ g) = (4774/15)√3 / (1000 * 10) = 4774√3 / 150000 ≈ 4774 * 1,732 / 150000 ≈ 8268,5 / 150000 ≈ 0,05512 m³. Mas o enunciado dá 34^2/√3 = 667,4. Vamos ver se V_sub pode ser expresso de forma mais simples. V_sub = E / (ρ g) = (mg + T cos θ) / (10000). T = m v^2 / (R sin θ) = √3 * 68^2 / (5√3 * √3/2) = 68^2 / (5 * √3/2) = 68^2 * 2 / (5√3) = 4624 * 2 / (5√3) = 9248 / (5√3). T cos θ = T * 1/2 = 4624 / (5√3). Então E = 10√3 + 4624 / (5√3). V_sub = [10√3 + 4624/(5√3)] / 10000 = [ (10√3 * 5√3 + 4624) / (5√3) ] / 10000 = [ (150 + 4624) / (5√3) ] / 10000 = (4774) / (50000√3) = 4774 / (50000√3) = 0,09548 / √3 m³. 4774 / 50000 = 0,09548. Agora, 0,09548 / √3 = (0,09548√3)/3 ≈ 0,09548 * 1,732 / 3 ≈ 0,05512. Mas o enunciado fornece 34^2/√3 = 667,4. Vamos tentar expressar 0,09548 em termos de 34^2. 4774 / 50000 = 4774 / 50000. 4774 = ? 34^2 = 1156. 4774 / 1156 = 4,13. Não é simples. Talvez eu tenha considerado a massa m = √3 kg, mas o enunciado diz "massa do objeto: m = √3 kg". OK. Vamos verificar se o empuxo é maior que o peso. P = 17,32 N, E ≈ 551,24 N. Sim, o empuxo é muito maior. Isso significa que o objeto é uma casca esférica muito leve e grande. O volume submerso V_sub ≈ 0,055 m³. O volume total do objeto? Não é pedido. O item d pede "o volume do objeto que permanece submerso durante o movimento". Isso é V_sub. Mas vamos ver se há alguma pegadinha. "para efeito de cálculos desconsidere a resistência da água e as dimensões do objeto, que só devem ser consideradas no cálculo do empuxo." Então o empuxo é calculado usando o volume submerso. O volume submerso é constante. O objeto é uma casca esférica. A massa é √3 kg. O volume submerso é o volume de água deslocado. Agora, vamos calcular a tração no fio como o candidato faria. Talvez a tração seja calculada apenas com a componente centrípeta? Mas a tração é a mesma em todo o fio. A componente vertical equilibra a diferença entre empuxo e peso. Mas o item c pede a tração no fio. Nós podemos calcular T a partir da componente centrípeta, como fizemos. T = m v^2 / (R sin θ). Isso não depende do empuxo. Então T = 1067,84 N. Mas vamos ver se a tração poderia ser calculada de outra forma: T = m v^2 / (R sin θ). Sim. Vamos calcular os valores numéricos exatos usando os dados fornecidos. Dados: √3 = 1,732 34^2/√3 = 667,4 a) v = 68 m/s. b) R = 5√3 = 5 * 1,732 = 8,66 m. c) T = ? T = m v^2 / (R sin θ). m = √3 = 1,732 kg. v = 68 m/s. R = 5√3 = 8,66 m. sin θ = √3/2 = 0,866. T = 1,732 * 68^2 / (8,66 * 0,866) = 1,732 * 4624 / (7,5) = 1,732 * 4624 / 7,5. 1,732 * 4624 = ? 4624 * 1,732 = 4624 * (1,7 + 0,032) = 7860,8 + 147,968 = 8008,768. 8008,768 / 7,5 = 1067,8357 N. Arredondando: 1067,8 N. Mas podemos usar a relação dada: 34^2/√3 = 667,4. T = m v^2 / (R sin θ) = √3 * (2*34)^2 / (5√3 * √3/2) = √3 * 4 * 34^2 / (5√3 * √3/2) = 4 * 34^2 / (5 * √3/2) = 8 * 34^2 / (5√3) = (8/5) * (34^2/√3) = 1,6 * 667,4 = 1067,84 N. Exatamente. Então T = 1067,84 N. d) V_sub = ? E = P + T cos θ. cos θ = 1/2. T cos θ = 1067,84 / 2 = 533,92 N. P = m g = √3 * 10 = 17,32 N. E = 17,32 + 533,92 = 551,24 N. V_sub = E / (ρ g) = 551,24 / (1000 * 10) = 0,055124 m³. Mas podemos expressar em termos dos dados: E = mg + T/2 = 10√3 + 1067,84/2 = 10√3 + 533,92. V_sub = (10√3 + 533,92) / 10000 = (17,32 + 533,92) / 10000 = 551,24 / 10000 = 0,055124 m³. Ou usando a expressão exata: V_sub = (4774/50000√3) = (4774√3)/(150000) ≈ 0,05512 m³. Vamos calcular com √3 = 1,732: 4774 * 1,732 = ? 4774 * 1,7 = 8115,8; 4774 * 0,032 = 152,768; soma = 8268,568. Dividido por 150000 = 0,0551238... m³. Então V_sub ≈ 0,0551 m³ = 5,51 × 10^{-2} m³. Mas vamos ver se o item d pode ser expresso em litros? Não, o enunciado não pede unidade específica. Vamos deixar em m³. Agora, vamos revisar a questão: "determine: a) a velocidade escalar do objeto; b) o raio da trajetória; c) a tração no fio; d) o volume do objeto que permanece submerso durante o movimento." Parece que está tudo consistente. Mas espera, será que a frequência em A e B são dadas como 5f0/4 e 10f0/11? Sim. Em A, f_obs = 5/4 f0 = 1.25 f0. Em B, f_obs = 10/11 f0 ≈ 0.909 f0. Nós usamos a fórmula do efeito Doppler para fonte em movimento e observador em repouso. Mas o observador está na superfície da piscina, e a fonte está submersa? O enunciado diz "Um observador localizado em O, na superfície da piscina, percebe as frequências...". A velocidade do som no ar é 340 m/s. Se a fonte está submersa, o som se propaga na água, e a velocidade do som na água é ~1500 m/s. Mas o enunciado só dá a velocidade do som no ar. Isso sugere que a fonte está no ar? Ou que o som se propaga no ar? A vista lateral mostra o objeto dentro da água. Mas talvez a fonte esteja na superfície, e o som se propague no ar. A observação diz "o observador está no mesmo plano que o movimento circular da fonte sonora". Isso significa que o observador e a fonte estão no mesmo plano horizontal (a superfície). Então a fonte está na superfície da água, e o som se propaga no ar. A água está abaixo. O fio prende o objeto ao fundo, mas o objeto está na superfície. Então a fonte está na interface água-ar, e o som se propaga no ar. A velocidade do som no ar é 340 m/s. Isso faz sentido. A água só serve para o empuxo. Então a fonte está no ar (ou na superfície), e o observador também. Portanto, a velocidade do som é 340 m/s. OK. Outra dúvida: a geometria da vista superior. O círculo tem centro C. A distância AO = 10 m. Nós assumimos que A é o ponto mais próximo de O. Mas a figura mostra A na parte inferior do círculo e O à direita. A linha pontilhada de A até O é horizontal. Isso está consistente com A sendo o ponto mais próximo? Se O está à direita de A, a distância de O a qualquer ponto do círculo: o ponto mais próximo seria aquele na direção de O. Como O está à direita, o ponto mais próximo seria o ponto mais à direita do círculo, não o ponto mais baixo. Mas a figura mostra A embaixo, e uma linha pontilhada horizontal de A até O. Isso é estranho: se A está embaixo, a linha de A até O não é horizontal? Na figura, a linha pontilhada de A até O parece horizontal. Mas se A é o ponto mais baixo do círculo, a coordenada y de A é a mais baixa. O ponto O está à direita, na mesma altura que A? Na figura, a linha pontilhada de A até O é horizontal, então O está na mesma altura que A. Isso significa que A e O estão na mesma linha horizontal. Mas se A é o ponto mais baixo do círculo, então o centro C está acima de A. A linha CO não é horizontal. A distância AO = 10. O ponto A não é o ponto mais próximo de O? Vamos analisar: O está em (10, 0) se A = (0,0). O círculo tem centro C = (0, R). O ponto mais próximo de O no círculo é aquele na direção de O. O vetor de C para O é (10, -R). O ponto mais próximo é C + R * (10, -R)/sqrt(100+R^2). Isso não é A (0,0), a menos que R seja 0. Então A não é o ponto mais próximo de O. A é apenas o ponto mais baixo do círculo. A distância AO = 10 é dada, mas não é a distância mínima. Isso é importante! A frequência em A é dada, e nós usamos v_rA = v. Mas se A não é o ponto mais próximo, a velocidade em A não é necessariamente dirigida para O. Vamos reavaliar. Na figura da vista superior: o círculo, B no topo, A embaixo. O observador O está à direita, na mesma linha horizontal que A? A linha pontilhada de A até O é horizontal. Isso significa que A e O estão na mesma altura (mesma coordenada y). O centro C está acima de A, então C = (x_C, y_C). Se A está embaixo, A = (x_A, y_A). A linha pontilhada horizontal significa que y_A = y_O. A distância AO = d = 10. Então O está a 10 m de A na horizontal. A é o ponto mais baixo do círculo? Na figura, A está na parte inferior do círculo. B está na parte superior. A linha vertical pontilhada passa por B e A, então B e A estão na mesma vertical. O centro C está nessa vertical, entre B e A. Então se A é o ponto mais baixo, a coordenada y de A é mínima. O centro C está acima de A. B está acima de C. Então A = (x, y_min), B = (x, y_max). A linha vertical passa por A, C, B. O ponto O está à direita, na mesma altura que A. Então O = (x + 10, y_min). Isso é exatamente o que assumimos: A = (0,0), O = (10,0), C = (0,R), B = (0,2R). Mas então A não é o ponto mais próximo de O. O ponto mais próximo de O seria o ponto do círculo que está mais à direita. Vamos calcular a distância de O a um ponto genérico do círculo: C = (0, R). O círculo tem equação x^2 + (y - R)^2 = R^2. O ponto O = (10, 0). A distância mínima de O ao círculo é |OC| - R = sqrt(10^2 + R^2) - R. A distância de O a A é 10. Se R > 0, sqrt(100 + R^2) - R < 10? Vamos testar R = 5√3 ≈ 8.66. sqrt(100 + 75) - 5√3 = sqrt(175) - 8.66 ≈ 13.23 - 8.66 = 4.57. Então A não é o ponto mais próximo. A distância AO = 10 é maior que a distância mínima. Então a velocidade em A não é puramente radial! Isso muda o cálculo do efeito Doppler em A. Nós assumimos que em A a velocidade é horizontal para a direita, e a linha AO é horizontal. Então a velocidade em A é paralela à linha AO? Se A = (0,0) e O = (10,0), a linha AO é o eixo x. A velocidade em A no MCU anti-horário: o centro C está acima de A, então em A (ponto mais baixo), a tangente é horizontal. Para movimento anti-horário, a velocidade em A aponta para a direita (sentido positivo de x). Então a velocidade é paralela à linha AO. Portanto, a componente radial da velocidade na direção de O é exatamente v (pois o vetor velocidade é paralelo ao vetor AO). Então v_rA = v. Isso é correto, independentemente de A ser o ponto mais próximo ou não. A linha AO é horizontal, e a velocidade em A é horizontal. Então a componente radial é v. OK. Agora, em B: B = (0, 2R). O = (10, 0). A velocidade em B é horizontal para a esquerda (-v, 0). O vetor de B para O é (10, -2R). A componente radial é v_B . (O-B)/|O-B| = (-v, 0) . (10, -2R) / sqrt(100 + 4R^2) = -10v / sqrt(100 + 4R^2). Isso é o que usamos. Então nossos cálculos estão corretos. Mas vamos verificar se a frequência em A não deveria usar a componente radial correta. Nós usamos v_rA = v. Isso é verdade porque a velocidade é paralela à linha AO. Se a linha AO não fosse paralela à velocidade, teríamos um fator cos. Aqui, a linha AO é horizontal, e a velocidade em A é horizontal. Então cos = 1. OK. Agora, vamos verificar se a distância AO = d = 10 m é usada corretamente. Nós usamos d = 10 para calcular a distância de B a O. BO = sqrt(d^2 + (2R)^2). Isso é correto. Agora, vamos ver se há alguma outra interpretação. A vista lateral mostra o fio L inclinado. O objeto está na superfície? A figura mostra o objeto no topo do retângulo cinza. O retângulo cinza é a água. O objeto está na superfície da água. O observador está na superfície da piscina, no mesmo plano. Então a profundidade do objeto é zero? Mas o fio tem L=10, e R=8.66, então h=5 m. Se o objeto está na superfície, a profundidade da piscina é 5 m. O fundo está a 5 m abaixo da superfície. O fio vai do fundo até a superfície. Isso é consistente. Agora, o item d: volume submerso. O objeto é uma casca esférica. O volume submerso é o volume da parte do objeto que está debaixo d'água. Como o objeto está na superfície, talvez apenas metade do volume esteja submerso? Mas a observação diz: "considere que o volume submerso do objeto não se altera durante o movimento; ... as dimensões do objeto, que só devem ser consideradas no cálculo do empuxo." Isso sugere que o volume submerso é uma fração do volume total, e é constante. Não sabemos se é metade ou o quê. Nós calculamos o volume submerso a partir do empuxo. Mas será que o empuxo é calculado com o volume total? Não, empuxo = ρ V_sub g. Nós calculamos V_sub = E / (ρ g). Isso é o volume de água deslocado, que é o volume submerso. Então V_sub ≈ 0,055 m³. Isso é uma resposta válida. Mas vamos ver se há uma maneira mais simples de calcular V_sub. Talvez o objeto flutue, e o empuxo seja igual ao peso? Mas se o fio está tensionado para baixo, o empuxo é maior que o peso. Se o fio não estivesse tensionado, o objeto subiria. Mas ele está preso, então a tração puxa para baixo. Então E > P. Nós calculamos E = P + T cos θ. Isso está correto. Agora, vamos calcular com mais precisão usando os dados fornecidos. Dados: √3 = 1,732 34^2/√3 = 667,4 a) v = 68 m/s. b) R = 5√3 = 5 * 1,732 = 8,66 m. c) T = 1,6 * 667,4 = 1067,84 N. d) V_sub = ? E = P + T cos θ. P = m g = √3 * 10 = 17,32 N. T cos θ = T/2 = 1067,84 / 2 = 533,92 N. E = 17,32 + 533,92 = 551,24 N. V_sub = E / (ρ g) = 551,24 / (1000 * 10) = 0,055124 m³. Podemos expressar V_sub em notação científica: 5,51 × 10^{-2} m³. Ou talvez em litros? 1 m³ = 1000 L, então 55,124 L. Mas o enunciado não especifica unidade. Vamos deixar em m³. Agora, vamos revisar se a tração poderia ser calculada de forma diferente. A tração no fio é a força que o fio exerce no objeto. Nós usamos T sin θ = m v^2 / R. Mas a aceleração centrípeta é m v^2 / R. A única força horizontal é a componente horizontal da tração (a resistência da água é desprezada). Então T sin θ = m v^2 / R. Isso é correto. Mas vamos verificar se o empuxo afeta a tração horizontal? Não, o empuxo é vertical. A resistência da água é desprezada. Então OK. Vamos calcular o valor de T usando os dados fornecidos: T = m v^2 / (R sin θ) = √3 * 68^2 / (5√3 * √3/2) = 68^2 / (5 * √3/2) = 68^2 * 2 / (5√3) = 4624 * 2 / (5√3) = 9248 / (5√3) = 1849,6 / √3. Agora, 1849,6 / √3 = (1849,6 / 1156) * (34^2/√3) = 1,6 * 667,4 = 1067,84 N. Exato. Agora, V_sub: E = mg + T cos θ = 10√3 + (1849,6 / √3) * (1/2) = 10√3 + 924,8 / √3 = (30 + 924,8) / √3 = 954,8 / √3. V_sub = E / (ρ g) = (954,8 / √3) / 10000 = 954,8 / (10000√3) = 0,09548 / √3. Agora, 0,09548 / √3 = (0,09548 / ?) * (34^2/√3)? Não é simples. Vamos calcular numericamente: 954,8 / 1,732 = 551,27... N. Dividido por 10000 = 0,055127 m³. Usando 34^2/√3 = 667,4, podemos achar 1/√3 = 667,4 / 34^2 = 667,4 / 1156 = 0,5773356. Então V_sub = 0,09548 * 0,5773356 = 0,055123 m³. Então V_sub ≈ 0,0551 m³. Podemos escrever a resposta em função de √3 ou com o valor numérico. O enunciado fornece √3 = 1,732 e 34^2/√3 = 667,4. Então podemos dar os valores numéricos. a) 68 m/s b) 8,66 m (ou 5√3 m) c) 1067,84 N d) 0,0551 m³ (ou 5,51 × 10^{-2} m³) Vamos verificar se há alguma pegadinha no item d. "o volume do objeto que permanece submerso durante o movimento." Talvez o volume submerso seja o volume total do objeto? Não, é o volume da parte submersa. Como o objeto é uma casca esférica, e ele está na superfície, talvez o volume submerso seja metade do volume total? Mas nós calculamos o volume submerso a partir do empuxo. O empuxo é ρ V_sub g. Nós calculamos V_sub. Não precisamos saber o volume total. A resposta é o volume submerso. Mas vamos pensar: se o objeto é uma casca esférica, e ele está na superfície, a parte submersa é uma calota esférica? Mas a observação diz "desconsidere as dimensões do objeto, que só devem ser consideradas no cálculo do empuxo". Isso significa que tratamos o objeto como um ponto para o movimento, mas para o empuxo consideramos seu volume submerso. Não precisamos da geometria da casca. O volume submerso é simplesmente o volume de água deslocado. Agora, vamos revisar a fórmula do efeito Doppler. O observador está parado? "Um observador localizado em O, na superfície da piscina" - ele está parado? Sim, ele está localizado em O, então está parado. A fonte está se movendo. A fórmula é f_obs = f0 * v_som / (v_som - v_r). Nós usamos isso. Mas vamos verificar se a fonte está se aproximando ou afastando em A e B. Em A, f_obs > f0, então está se aproximando. v_r positiva. Em B, f_obs < f0, então está se afastando. v_r negativa. Isso está consistente. Agora, vamos ver se a velocidade v = 68 m/s é muito alta. 68 m/s = 244,8 km/h. É uma velocidade alta, mas possível para um objeto motorizado. Agora, vamos escrever a solução como um candidato faria. Passo 1: Efeito Doppler. Em A, a fonte se aproxima do observador. A componente radial da velocidade é v_A = v (pois a velocidade é paralela à linha AO). Usando a fórmula do efeito Doppler: f_A = f0 * v_som / (v_som - v) = 5/4 f0 => v = v_som/5 = 68 m/s. Em B, a fonte se afasta. A distância BO = sqrt(d^2 + (2R)^2). A componente radial da velocidade é v_B = - v * d / BO. f_B = f0 * v_som / (v_som - v_B) = 10/11 f0. Substituindo v_B = - v d / BO: 10/11 = v_som / (v_som + v d / BO) => 10 (v_som + v d / BO) = 11 v_som => 10 v d / BO = v_som => v d / BO = 34 => BO = v d / 34 = 68 * 10 / 34 = 20 m. Mas BO = sqrt(d^2 + (2R)^2) = sqrt(100 + 4R^2) = 20 => 100 + 4R^2 = 400 => R^2 = 75 => R = 5√3 m ≈ 8,66 m. Passo 2: Geometria do fio. L = 10 m, R = 5√3 m. A altura h = sqrt(L^2 - R^2) = sqrt(100 - 75) = 5 m. sin θ = R/L = √3/2, cos θ = h/L = 1/2. θ = 60°. Passo 3: Tração. Força centrípeta: T sin θ = m v^2 / R. T = m v^2 / (R sin θ) = √3 * 68^2 / (5√3 * √3/2) = 68^2 * 2 / (5√3) = 9248 / (5√3) = 1849,6 / √3. Usando 34^2/√3 = 667,4: 1849,6 = 1,6 * 1156, então T = 1,6 * 667,4 = 1067,84 N. Passo 4: Volume submerso. Equilíbrio vertical: E = P + T cos θ. P = m g = 10√3 = 17,32 N. T cos θ = T/2 = 533,92 N. E = 17,32 + 533,92 = 551,24 N. V_sub = E / (ρ g) = 551,24 / 10000 = 0,055124 m³. Vamos verificar se o valor de T cos θ poderia ser negativo? Não, T é positiva. Agora, vamos escrever a resposta final. Resposta final: a) 68 m/s b) 5√3 m (ou aproximadamente 8,66 m) c) 1067,84 N (ou 1849,6/√3 N) d) 0,0551 m³ (ou 5,51 × 10^{-2} m³) Mas vamos conferir se o item b pede o raio da trajetória. É 5√3 m. O enunciado dá √3 = 1,732, então 5 * 1,732 = 8,66 m. Podemos escrever 8,66 m. Agora, uma dúvida: a frequência em B é 10f0/11. Nós usamos f_B = f0 * v_som / (v_som - v_rB). Mas v_rB é negativo. Vamos reescrever a equação para evitar confusão: 10/11 = v_som / (v_som + |v_rB|) => 10/11 = 340 / (340 + |v_rB|) => 10(340 + |v_rB|) = 11*340 => 3400 + 10|v_rB| = 3740 => 10|v_rB| = 340 => |v_rB| = 34 m/s. Isso é mais claro. |v_rB| = v * d / BO = 34 => BO = 68 * 10 / 34 = 20 m. BO = sqrt(d^2 + (2R)^2) = sqrt(100 + 4R^2) = 20 => R^2 = 75 => R = 5√3. OK. Agora, vamos verificar se a expressão para BO está correta. B = (0, 2R), O = (10, 0). A distância BO = sqrt(10^2 + (2R)^2). Sim. Agora, vamos verificar a expressão para a componente radial em B. A velocidade em B é (-v, 0). O vetor unitário de B para O é (10, -2R)/BO. O produto escalar é (-v)*10 / BO = -10v/BO. O módulo é 10v/BO. Então |v_rB| = 10v/BO. Nós usamos v d / BO, mas d = 10, então é a mesma coisa. OK. Agora, vamos calcular V_sub com mais precisão usando os dados fornecidos. E = 551,24 N. V_sub = 551,24 / 10000 = 0,055124 m³. Podemos escrever 5,51 × 10^{-2} m³. Mas o enunciado pode esperar uma resposta em notação científica ou decimal. Vamos deixar 0,0551 m³. Agora, vamos revisar se há alguma outra força atuando no objeto. A resistência da água é desprezada. O empuxo é vertical. A tração tem componentes. A única força horizontal é a componente horizontal da tração. Então a equação centrípeta está correta. Agora, vamos escrever a resposta final conforme solicitado: Resposta final: a) 68 m/s; b) 5√3 m ≈ 8,66 m; c) 1067,84 N; d) 0,0551 m³. Mas vamos ver se a tração pode ser simplificada. T = 1849,6/√3 N. Usando √3 = 1,732, T ≈ 1067,84 N. OK. Agora, vamos escrever a solução completa em português. Vou detalhar os passos. 1. Efeito Doppler em A: f_A = f0 * v_som / (v_som - v) = 5/4 f0 => v = v_som/5 = 68 m/s. 2. Efeito Doppler em B: f_B = f0 * v_som / (v_som + v_rB) = 10/11 f0, onde v_rB = v * d / BO. 340 / (340 + v_rB) = 10/11 => 3400 + 10 v_rB = 3740 => v_rB = 34 m/s. BO = v d / v_rB = 68 * 10 / 34 = 20 m. BO = sqrt(d^2 + (2R)^2) => 400 = 100 + 4R^2 => R^2 = 75 => R = 5√3 m. 3. Geometria: L = 10 m, R = 5√3 m => h = sqrt(L^2 - R^2) = 5 m. sin θ = R/L = √3/2, cos θ = 1/2. 4. Tração: T sin θ = m v^2 / R => T = m v^2 / (R sin θ) = √3 * 68^2 / (5√3 * √3/2) = 1849,6 / √3 ≈ 1067,84 N. 5. Volume submerso: E = P + T cos θ = m g + T/2 = 10√3 + 1067,84/2 = 17,32 + 533,92 = 551,24 N. V_sub = E / (ρ g) = 551,24 / (1000 * 10) = 0,055124 m³. Agora, vamos escrever a resposta final conforme o formato pedido. Resposta final: a) 68 m/s; b) 5√3 m (≈ 8,66 m); c) 1067,84 N; d) 0,0551 m³. Vou arredondar para 3 algarismos significativos? O enunciado dá 34^2/√3 = 667,4 (4 algarismos). Vou manter 1067,84 N e 0,0551 m³. Agora, vou revisar se há algum erro de sinal na equação do empuxo. Eu escrevi E = P + T cos θ. Isso significa que o empuxo é maior que o peso. Se o empuxo fosse menor, o fio teria que puxar para cima, mas o fio só puxa para baixo. Então E > P. Isso é consistente. Agora, vou verificar se a tração poderia ser calculada considerando a força resultante vertical zero. Sim, E = P + T cos θ. OK. Agora, vou escrever a solução de forma clara. Uma última verificação: a frequência em B é 10f0/11. Isso é menor que f0, então a fonte está se afastando. A componente radial é negativa. Nós usamos v_rB positiva na fórmula f_obs = f0 * v_som / (v_som - v_r), onde v_r é positiva se aproxima. Se se afasta, v_r é negativa. Então f_B = f0 * v_som / (v_som - (-|v_r|)) = f0 * v_som / (v_som + |v_r|). Isso é o que fizemos. OK. Agora, vou escrever a resposta final. Resposta final: a) 68 m/s; b) 5√3 m (≈ 8,66 m); c) 1067,84 N; d) 0,0551 m³. Mas o formato pede "Resposta final: <o resultado de cada item, de forma curta>". Vou colocar de forma concisa. Resposta final: a) 68 m/s; b) 5√3 m; c) 1067,84 N; d) 0,0551 m³.

**Analyzing Sound Behavior** I'm currently focused on understanding the physics problem presented in the image, specifically regarding a sound source attached to a motorized spherical shell in a pool. My thoughts are directed towards how to approach solving this scenario. **Calculating Object Velocity** I'm analyzing the Doppler effect for a sound source in circular motion within water. My focus is on the observer's perceived frequencies at points A and B to determine the object's scalar velocity. **Determining Object Trajectory** I'm now zeroing in on the geometry of the object's path. I'm working to clarify if the line connecting points A and B in the diagram represents a diameter of the circular trajectory, which is crucial for understanding the setup. **Confirming Motion Vector** I've confirmed that the vertical dashed line through A and B represents a diameter. The tangent at A is horizontal, and since AO extends horizontally to the right from A, the velocity vector at A points directly towards O. This aligns with the increased observed frequency at A. **Calculating Radial Velocity** My current focus is on the radial velocity component at point A. Based on the provided ratio, the source is moving towards the observer. I'm calculating its speed relative to the observer, considering the geometry of the setup, specifically the line of sight to point O and the tangent at A. **Deriving Observer Speed** I'm now calculating the radial velocity component at point B. Using the coordinates and the velocity vector, I've determined the component of the source's velocity directed towards or away from O, which is key for the Doppler shift calculation there. **Confirming Geometric Relationships** I've confirmed a crucial geometric relationship: the cosine of the angle at the center subtended by the chord connecting points A and B is 1/2. This, combined with the velocity ratio, has allowed me to precisely determine the radius of the circular path. **Clarifying Propagation Medium** I'm now definitively resolving the medium through which the sound travels to the observer. The crucial detail is that the observer is on the pool's surface, and the sound propagates through air, not water, to reach them, impacting the speed of sound used. **Analyzing Object Immersion** I'm now considering the submerged volume of the object. It appears the circular motion is precisely at the water's surface. The provided radius of $5\sqrt{3}$ meters for the trajectory contrasts with the string's length of 10 meters. **Revising Immersion Geometry** I've realized a crucial detail: the string likely attaches to the pool's bottom, not the center of the sphere. This reconfigures the geometry, yielding a clean 60-degree angle with the vertical, precisely as the problem setter likely intended. **Revising Force Dynamics** I've been re-evaluating the forces acting on the sphere. My current focus is on how the tension in the string, pulling towards the pool's bottom, interacts with the other forces and the object's propulsion. This is key to understanding the circular motion. **Calculating Tension Forces** I am now calculating the tension in the string using the derived velocity and radius. My focus is on the horizontal component of this tension, which provides the centripetal force, and I am verifying its consistency with the equation of motion. **Validating Given Data** I've confirmed the critical numerical data provided. The calculation $\frac{34^2}{\sqrt{3}} \approx 667.4$ is indeed present, validating my prior analysis of the problem's parameters. This alignment is highly reassuring for the derived tension value. **Reconfirming Medium** I am re-evaluating the sound propagation medium. The observer is on the pool's surface, receiving sound that has traveled through air, not water. This significantly alters the speed of sound used in Doppler calculations. **Confirming Sound Medium** I am now definitively confirming that the sound is traveling through air to the stationary observer on the pool's surface, using the provided speed of sound in air ($340\text{ m/s}$). This clarifies a previous ambiguity. **Revising Doppler Interpretation** I'm refining my understanding of the Doppler effect's application here. The key clarification is that the perceived frequencies at A and B correspond to sound emitted precisely *at* those points, not later. This confirms my previous calculation for the speed. **Analyzing Trajectory Diameter** I'm focusing on the spatial arrangement in the "Vista superior do movimento" diagram. It's clear now that the dashed vertical line, connecting points B and A, indeed represents a diameter of the circular trajectory and passes through the center. **Confirming Tangent Direction** I've confirmed the tangent at point A is horizontal. Given the diagram's orientation, this means the velocity vector at A points directly towards O. This is consistent with the observed frequency increase at A. **Verifying Derived Radius** I've successfully derived the radius of the circular trajectory using the Doppler shift equation and the provided frequency ratio, confirming it to be $5\sqrt{3}$ meters. The calculation aligns precisely with the geometric relationships I've established. **Calculating Tension Force** I am now calculating the tension in the string. Using the derived velocity, radius, and the crucial 60-degree angle with the vertical, I'm determining the tension's components to provide the necessary centripetal force for the circular motion. **Resolving Force Components** I'm now focusing on resolving the tension force into its horizontal and vertical components. The horizontal component provides the necessary centripetal force, while the vertical component, along with buoyancy and gravity, must balance out. My current calculation uses the derived velocity and radius, alongside the 60-degree angle, to determine these tensions. **Calculating Tension Value** I have successfully calculated the tension in the string to be 1067.84 N, validating this against the provided data and units. My next step is to determine the submerged volume using vertical equilibrium. **Calculating Submerged Volume** I've now calculated the buoyant force by balancing vertical forces and determined the submerged volume to be 0.055124 m³. The explicit numerical values provided in the problem statement perfectly align with my derived tension, confirming the methodology for calculating this volume. **Confirming Motion Vectors** I am currently verifying the direction of the object's velocity at point B. Given the counter-clockwise motion observed from above, and knowing the velocity at A, I'm confirming the tangential velocity vector at B points left. This clarifies the relative motion for the Doppler calculation. **Calculating Radial Velocity** I am now calculating the radial velocity component at point B. Using the coordinates and the velocity vector, I've determined the component of the source's velocity directed towards or away from O, which is key for the Doppler shift calculation there. **Verifying String Attachment** I am re-examining the attachment point of the string. My current focus is on clarifying whether the string connects to the pool bottom or the center of the sphere's motion, as this significantly impacts the force dynamics and the vertical equilibrium equations I'm using. **Confirming Force Direction** My current thoughts are focused on the direction of the tension force exerted by the string on the spherical shell. I've confirmed it pulls downwards towards the pool bottom, aligning with the physics of tension. This influences the vertical equilibrium calculation significantly. **Checking Problem Constraints** I'm confirming that the object's dimensions are indeed negligible compared to the string length and trajectory radius, as stated. This validation reinforces the calculated values for speed, radius, tension, and submerged volume, ensuring they align with the problem's stated simplifications and requirements. **Finalizing Solution Steps** I am now consolidating the calculations for radius, tension, and submerged volume. My focus is on presenting these findings clearly, ensuring consistency with the provided numerical data and units, and preparing to structure the full solution in Portuguese. **Calculating Object Velocity** I've determined the object's scalar speed to be 68 m/s. This was achieved by analyzing the Doppler shift at point A, where the source's velocity is directly aligned with the observer, and using the provided speed of sound in air. **Calculating Trajectory Radius** I am now focused on determining the radius of the circular path. My approach involves setting up a coordinate system based on the given diagram and using the information about the center and point B relative to the radius to establish equations. **Determining Center Coordinates** I've established the coordinates of the center of the circular motion. By placing point A at the origin and aligning the y-axis with the diameter AB, the center C is located at (0, R). **Confirming Observer Position** I have confirmed the observer's position O. With A at the origin and AO along the x-axis, the observer's coordinates are (10, 0), reflecting the 10-meter distance from A. **Calculating Radial Velocity** I am now calculating the radial velocity component at point B. Using the coordinates and the velocity vector, I've determined the component of the source's velocity directed towards or away from O, which is key for the Doppler shift calculation there. **Calculating Tension Components** I am now focusing on resolving the tension force into its horizontal and vertical components. The horizontal component provides the necessary centripetal force, while the vertical component, along with buoyancy and gravity, must balance out. My current calculation uses the derived velocity and radius, alongside the 60-degree angle, to determine these tensions. **Calculating Submerged Volume** I have calculated the buoyant force by balancing the vertical forces, and this has allowed me to determine the submerged volume to be 0.055124 m³. The explicit numerical values provided in the problem statement perfectly align with my derived tension, confirming the methodology for calculating this volume.

**Analyzing Physics Problem** I've begun by carefully examining the physics question presented, which mirrors the style of an IME exam. My initial focus is on thoroughly understanding the problem statement, starting with the provided text about a sound source of a certain frequency. **Calculating Doppler Effect** I'm now applying the Doppler effect to this scenario. The differing observed frequencies at points A and B, coupled with the given distances and sound speed, suggest I can determine the source's tangential velocity and potentially its orbital frequency relative to the observer. **Determining Object Speed** I'm analyzing the provided diagram and text, focusing on determining the object's speed. The top view suggests a circular path with radius R, and I'm considering the implications of points A and B being diametrically opposite on a vertical diameter. It appears the line AO is tangent to the circle at point A, which will be crucial in resolving the velocity vector. **Deriving Object Speed** I've confirmed the object's speed. By applying the Doppler effect at point A, where the velocity is directed towards the observer O, and using the given frequency ratio, I've calculated the speed to be 68 m/s. The provided hint further strengthens this result. **Calculating Orbital Radius** I am now analyzing the scenario at point B to determine the orbital radius. With the velocity vector at B being tangent to the circular path and pointing away from O, I'm setting up the Doppler effect equation and considering the angle relative to the horizontal. **Solving for Radius** I am now using the information derived at point B. With the calculated speed and the Doppler-shifted frequency, I am solving for the orbital radius $R$, focusing on the geometric relationships in triangle BAO and the radial component of the velocity vector. **Calculating Orbital Radius** I have successfully derived the orbital radius. By leveraging the relationship between the observed frequencies at points A and B, the object's speed, and the geometric configuration, I've calculated the radius to be $5\sqrt{3}$ meters. **Analyzing Forces** I'm now examining the forces on the spherical object, given its uniform circular motion and the neglected water resistance. I'm focusing on the tension in the string and how its horizontal component provides the necessary centripetal force. **Calculating String Tension** I'm now calculating the string tension using the derived speed and radius, and examining how the centripetal force is provided by the horizontal component of tension. I've confirmed the appearance of the given approximation, and my calculation of tension yields 1067.84 N. **Balancing Vertical Forces** I'm now focusing on the vertical forces for equilibrium. Since the motion is horizontal, buoyancy and weight must balance the vertical component of tension. I've calculated this component, confirming consistency, and am now ready to use this to determine the object's mass and weight. **Confirming Calculations** I am re-verifying all my previous calculations, ensuring the accuracy of each step. I've confirmed the object's speed, orbital radius, string tension, and the forces involved, paying close attention to the geometric relationships and Doppler effect applications. **Verifying Force Equations** I am now verifying the force equations, specifically focusing on the vertical equilibrium. I'm ensuring that buoyancy and weight are correctly balanced against the vertical component of tension, confirming the consistency of my calculated values for mass and density.

**Considering propulsion and Doppler effects** I'm analyzing the propulsion force; it isn't specified. If we assume no drag, the motor force might be negligible, while the cable handles all radial forces. The specifics on how the motor applies force are less relevant. I also need to consider the Doppler effect: the received frequency varies based on source movement. I can check the calculation with the given parameters, ensuring everything aligns with the intended concepts. I’m focusing on maintaining accuracy in these relationships.