Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Os pontos P, Q, R e S são pontos médios dos lados, então PQRS é um losango formado ao ligar esses pontos. A área dele é metade da área do retângulo.

Por quê? Cada canto do retângulo (por exemplo, o triângulo APS) é um triângulo retângulo cujos catetos são metades dos lados do retângulo. Sua área é \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}=\frac{ab}{8}. Os quatro cantos somam \frac{ab}{2}, e sobra \frac{ab}{2} para PQRS.

1. Área do retângulo: ab=40\ \text{cm}^2.
2. Área do losango PQRS: \frac{40}{2}=20\ \text{cm}^2.

Agora o ponto T. Ele está sobre RS, e RS é paralelo a PQ, pois num losango lados opostos são paralelos. Logo, qualquer ponto T de RS está à mesma distância da reta PQ. Assim, o triângulo PQT tem a mesma base PQ e a mesma altura que os triângulos PQR e PQS, e sua área não depende da posição de T.

PQ é uma diagonal do... na verdade, PQ é um lado do losango PQRS, e o triângulo PQR tem a mesma base e a mesma altura. Como PR e QR... a diagonal PR divide o losango em dois triângulos iguais, PQR e PSR, cada um com área \frac{20}{2}=10.

3. Área de PQT = área de PQR =10\ \text{cm}^2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão corresponde a nenhuma razão da figura; a área de PQT é metade da do losango, 10 cm².
• CValor sem relação com as áreas dos triângulos formados pelos pontos médios.
• DIgnora que PQRS tem metade da área do retângulo e que PQT tem metade da área de PQRS.
• EValor arbitrário, sem base na decomposição da figura.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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