Questão 10 (Nível 1) da OBMEP 2009

Resolução comentada

O quadrado ABCD tem área 40\ \text{cm}^2. Ligando os pontos médios dos lados, o quadrado PQRS fica com metade da área, pois os 4 triângulos dos cantos são iguais e cada um vale \frac{1}{4} da metade... Na prática: cada triângulo de canto tem área \frac{1}{8} de 40, ou seja 5, e os quatro somam 20. Logo PQRS tem área 40-20=20\ \text{cm}^2.

Agora, o triângulo PQT. Como T é ponto médio de RS, e PQ é paralelo a RS, mas a figura mostra que PQ é perpendicular a PS... Vamos usar outro caminho: o triângulo PQT tem vértices em P, Q e T, com T sobre o lado RS.

1. PQRS é um quadrado e PQ é um de seus lados.
2. RS é o lado oposto a PQ? Não: pela figura, os lados do quadrado interno são PQ, QR, RS e SP, nessa ordem; então RS é o lado oposto a PQ e é paralelo a ele.
3. Assim, a altura de T em relação a PQ é o lado do quadrado PQRS, independentemente da posição de T sobre RS.
4. Área do triângulo =\frac{PQ\cdot PQ}{2}=\frac{\text{área de }PQRS}{2}=\frac{20}{2}=10\ \text{cm}^2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem justificativa; não corresponde à metade de 20.
• CValor sem justificativa; não resulta da base e da altura corretas.
• DResulta de erro na área de PQRS ou de uma fração incorreta.
• EValor sem relação com a área de PQRS nem com sua metade.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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