Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Para o número ser o maior possível, ele precisa ter o maior número de algarismos. Só depois comparamos os algarismos, começando pela esquerda.

O 188 usa 16 palitos: 2 (do 1) + 7 + 7. Isso confere com a figura, em que o 1 usa 2 palitos e o 8 usa 7.

1. O algarismo mais barato é o 1, com 2 palitos. Com 13 palitos, o máximo de algarismos é \lfloor 13/2 \rfloor = 6.
2. Com 6 algarismos, o mínimo é 6\cdot 2 = 12 palitos. Sobra 1 palito.
3. Esse palito extra deve ir para o algarismo mais à esquerda, que é o mais importante. Trocar o 1 (2 palitos) por um algarismo de 3 palitos seria ideal, mas não existe algarismo de 3 palitos, a não ser o 7, que a figura mostra com 4 palitos (7 cortado ao meio). Então o 7 não serve para essa troca.
4. Se o primeiro algarismo gastar 2 palitos a mais, ficam 11 palitos para 5 algarismos, e o mínimo para eles é 10, o que é possível. Primeiro algarismo com 4 palitos: o 4 ou o 7. O maior é o 7.
5. Restam 9 palitos para 5 algarismos. O mínimo é 10, então não dá.

Assim, o primeiro algarismo pode usar no máximo 3 palitos. Como não existe algarismo de 3 palitos, ele usa 2 e é o 1, e o palito extra fica sobrando para outro algarismo.

Testando a ordem: 1 depois um algarismo de 3 palitos (não existe), então o segundo também usa 2 palitos, e assim por diante. Todos os 5 primeiros ficam com 1 e o último usa 13-10=3 palitos, que também não existe.

Ajuste: um algarismo de 5 palitos e quatro 1 usam 13 palitos. Isso dá 5 algarismos, e não 6. Para 6 algarismos, a soma 13 com mínimo 12 exige um algarismo de 3 palitos, que não existe. Logo o máximo é 5 algarismos.

Com 5 algarismos, o primeiro pode usar até 13-8=5 palitos, e o maior algarismo com 5 palitos é o 5. Depois, o resto deve ser 8 palitos em 4 algarismos, ou seja, quatro 1. O número é 71111? Não: o 7 usa 4 palitos, e sobrariam 9, o que deixa 4 algarismos com 2 palitos e 1 palito sobrando. O 7 não fecha.

O número é 51111, com soma 5+1+1+1+1=9.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa 4 algarismos 1 e o 4, ou outro arranjo, sem aproveitar os 13 palitos; soma 8 não corresponde ao maior número.
• CSupõe um número com 6 algarismos ou com algarismos maiores, o que gasta mais de 13 palitos.
• DCorresponde a um número com algarismos de mais palitos e menos dígitos, não ao maior possível.
• ESoma grande demais, só possível com algarismos que gastam mais de 13 palitos.

Assunto: Sistemas de numeração.

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