Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Os pontos médios P, Q, R, S formam um paralelogramo (de Varignon), cuja área é metade da área de ABCD. Logo, [PQRS] = 40/2 = 20\ \text{cm}^2.

O ponto T está sobre o segmento RS, que é uma diagonal de PQRS. Isso importa porque PQ é paralelo a RS: PQ é base média do triângulo ABC, logo é paralelo à diagonal AC, e RS também é paralelo a AC (base média do triângulo ACD).

Assim, qualquer ponto T sobre RS fica à mesma distância da reta PQ. O triângulo PQT tem então a mesma base e a mesma altura, qualquer que seja a posição de T, e portanto a mesma área do triângulo PQR (tomando T = R).

A diagonal PR divide o paralelogramo PQRS em dois triângulos de áreas iguais, então:

1. [PQRS] = 20\ \text{cm}^2
2. [PQR] = 20/2 = 10\ \text{cm}^2
3. [PQT] = [PQR] = 10\ \text{cm}^2

A área do triângulo PQT é 10\ \text{cm}^2, independentemente de onde T esteja em RS.

Alternativa A.

Pegadinha: Pode-se achar que a área depende da posição de T, mas como RS é paralelo a PQ a altura é constante e a área vale sempre metade de PQRS.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão corresponde a nenhuma razão válida entre as áreas; valor sem justificativa.
• CValor sem relação com as áreas do paralelogramo interno; não decorre de nenhuma divisão correta.
• DValor sem base nas razões de área da figura (40·2/5), não corresponde ao cálculo correto.
• EValor sem base nas razões de área; ignora que PQT tem a área de metade de PQRS.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Semelhança e Teorema de Tales.

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