Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Cada termo depende só do algarismo das unidades do anterior, então a sequência acaba se repetindo. Vamos calcular os termos até aparecer um valor repetido:

1. 9
2. 9+7=16
3. unidade 6: 6+7=13
4. unidade 3: 3+7=10
5. unidade 0: 0+7=7
6. unidade 7: 7+7=14
7. unidade 4: 4+7=11
8. unidade 1: 1+7=8
9. unidade 8: 8+7=15
10. unidade 5: 5+7=12
11. unidade 2: 2+7=9

O 11º termo é 9, igual ao 1º. Como cada termo é determinado pelo anterior, a sequência recomeça e se repete em blocos de 10 termos: 9, 16, 13, 10, 7, 14, 11, 8, 15, 12.

O 2009º termo ocupa a mesma posição que o resto da divisão de 2009 por 10:

O resto é 9, então o 2009º termo é igual ao 9º termo do bloco, que é 15.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ o 1º termo (e o 11º); só vale se o resto da divisão fosse 1 ou 0 conforme o ciclo, mas o resto é 9.
• BÉ o 4º termo do bloco; não corresponde à posição 9 do ciclo.
• CÉ o 7º termo do bloco, posição que não corresponde ao resto 9.
• DÉ o 3º termo do bloco, posição que não corresponde ao resto 9.

Assunto: Sequências e padrões.

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