Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2008

Question

Um ônibus transporta 31 estudantes, baianos e mineiros, para um encontro de participantes da OBMEP. Entre os baianos, \frac{2}{5} são homens e, entre os mineiros, \frac{3}{7} são mulheres.

Entre todos os estudantes quantas são as mulheres?

Ilustração de um ônibus em movimento sob um sol sorridente, com estudantes olhando e acenando pelas janelas. No teto do ônibus há uma placa com a inscrição "OBMEP" e, na lateral, um emblema com símbolos matemáticos e a inscrição "OBMEP 2008".

A
12
B
14
C
15
D
18
E
21

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2008

Nível 1 · Matemática: Razão e proporção

Um ônibus transporta 31 estudantes, baianos e mineiros, para um encontro de participantes da OBMEP. Entre os baianos, \frac{2}{5} são homens e, entre os mineiros, \frac{3}{7} são mulheres.

Entre todos os estudantes quantas são as mulheres?

Ilustração de um ônibus em movimento sob um sol sorridente, com estudantes olhando e acenando pelas janelas. No teto do ônibus há uma placa com a inscrição "OBMEP" e, na lateral, um emblema com símbolos matemáticos e a inscrição "OBMEP 2008".

A
12
B
14
C
15
D
18
E
21

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Como \frac{2}{5} do número de alunos baianos é um número inteiro e \frac{2}{5} é uma fração irredutível, concluímos que o número de baianos é múltiplo de 5. Do mesmo modo concluímos que o número de mineiros é múltiplo de 7. Os múltiplos de 5 menores do que 31 são 5, 10, 15, 20, 25 e 30 e os múltiplos de 7 menores que 31 são 7, 14, 21, 28 (não incluímos o 0 entre os múltiplos pois o enunciado diz que há tanto baianos como mineiros no ônibus). Como 31 é a soma do número de baianos com o número de mineiros, a única possibilidade é que o ônibus tenha 10 baianos e 21 mineiros. Como \frac{2}{5} do número de alunos baianos é de homens, segue que 1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} é de mulheres. Logo o total de mulheres no ônibus é

\frac{3}{5}\times 10+\frac{3}{7}\times 21=6+9=15

Observação: É importante notar que a irredutibilidade das frações \frac{2}{5} e \frac{3}{7} é essencial no argumento acima. Sabemos, por exemplo, que \frac{3}{7} = \frac{6}{14} e que \frac{6}{14}\times 21 = 9 mas 14 não é divisor de 21.

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Resolução comentada

Os baianos são uma quantidade b e os mineiros, uma quantidade m, com b+m=31. Como os alunos são pessoas inteiras, b deve ser múltiplo de 5 (por causa de \frac{2}{5}) e m deve ser múltiplo de 7 (por causa de \frac{3}{7}).

Múltiplos de 7 menores que 31: 7, 14, 21, 28.
Calcule b = 31 - m para cada um: 24, 17, 10, 3.
Só b=10 é múltiplo de 5, e isso ocorre com m=21.

Logo, há 10 baianos e 21 mineiros.

Agora contamos as mulheres:

Entre os baianos, \frac{2}{5} são homens, então \frac{3}{5} são mulheres: \frac{3}{5}\cdot 10 = 6.
Entre os mineiros, \frac{3}{7} são mulheres: \frac{3}{7}\cdot 21 = 9.

Total de mulheres: 6 + 9 = 15.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana porque 21 é o total de mineiros, e o aluno pode confundi-lo com a resposta; também é tentador esquecer que as baianas são \frac{3}{5} (o complemento de homens).

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma soma correta; por exemplo, 12 viria de contar só 3 mulheres baianas a menos ou usar uma divisão errada.
BValor sem base na contagem correta (6 baianas + 9 mineiras = 15, não 14).
DSeria o resultado de tomar 12 baianas e 6 mineiras ou outra divisão inválida, pois 12 não é múltiplo de 5.
E21 é o número de mineiros, não o de mulheres.

Assuntos: Razão e proporção, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 20 no caderno Nível 1 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 1. Prova oficial ↗