Questão 1 (Nível 2) da OBMEP 2008

Resolução comentada

A pista é um circuito fechado de 6 km. Depois de 6 km o corredor volta ao ponto P, então o que importa é só a posição dentro da volta, ou seja, o resto da divisão da distância percorrida por 6.

Tome como sentido positivo o de Mário e meça a posição a partir de P.

1. Mário correu 8 km: 8 = 6 + 2, então ele deu uma volta e mais 2 km. Posição: 2 km de P, no sentido dele.
2. João correu 15 km no sentido contrário: 15 = 2\cdot 6 + 3, então ele deu duas voltas e mais 3 km. Posição: 3 km de P no sentido oposto, ou seja, -3 km, que equivale a 6-3 = 3 km.

Agora compare as posições na pista: Mário está em +2 e João em -3.

Pelo caminho que passa por P, a distância é 2 + 3 = 5 km.

Pelo outro caminho, é 6 - 5 = 1 km.

A menor distância é, portanto, 1 km.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa que engana é a de 5 km (não listada) e, entre as listadas, a D: quem esquece de comparar com Mário ou de pegar o caminho mais curto no circuito erra.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASupõe que os dois pararam no mesmo ponto, mas as posições são +2 km e −3 km.
• CUsa só a posição de Mário (2 km) ou erra a conta do resto, sem combinar com a posição de João.
• DUsa só a posição de João (3 km) em relação a P, esquecendo onde Mário parou.
• ENão considera que a pista é fechada e que o caminho de volta é mais curto; nem 5 km nem 4 km correspondem à menor distância.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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