Questão 6 (Química) da 2ª fase do ITA 2023

Question

Suponha que, em medições experimentais realizadas no espaço sideral, foi descoberto um sistema formado de gás hidrogênio atômico excitado. A energia desse hidrogênio excitado é igual a -0{,}34\ \text{meV}, fazendo com que o sistema emita um espectro de ondas eletromagnéticas de forma aparentemente contínua. Considere o modelo do átomo proposto por Bohr para descrever esse sistema. Considere, ainda, que a energia do átomo de hidrogênio no estado fundamental é -13{,}6\ \text{eV} e que o raio do átomo de hidrogênio no estado fundamental é igual a 53\ \text{pm}.

Acerca desse sistema, determine o que se pede a seguir.

a) Qual é o nível de energia no qual os átomos de hidrogênio excitados se encontram?

b) Qual é o raio da órbita do elétron ao redor do próton nesses átomos de hidrogênio?

c) Qual é a razão entre a velocidade do elétron do átomo de hidrogênio no estado fundamental e no estado excitado?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Química) da 2ª fase do ITA 2023

Química · Química: Modelos atômicos

Texto-base das questões 01 a 10 · Química

As questões numéricas devem ser desenvolvidas sequencialmente até o final.

Constantes

Constante de Avogadro (\text{N}_\text{A}) = 6{,}02 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}

Constante de Faraday (\text{F}) = 9{,}65 \times 10^4\ \text{C}\ \text{mol}^{-1} = 9{,}65 \times 10^4\ \text{A}\ \text{s}\ \text{mol}^{-1} = 9{,}65 \times 10^4\ \text{J}\ \text{V}^{-1}\ \text{mol}^{-1}

Carga elementar = 1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{C}

Constante dos gases (\text{R}) = 8{,}21 \times 10^{-2}\ \text{atm}\ \text{L}\ \text{K}^{-1}\ \text{mol}^{-1} = 8{,}31\ \text{J}\ \text{K}^{-1}\ \text{mol}^{-1} = 1{,}98\ \text{cal}\ \text{K}^{-1}\ \text{mol}^{-1}

Constante de Planck (\text{h}) = 6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J}\ \text{s}

Velocidade da luz no vácuo = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m}\ \text{s}^{-1}

Número de Euler (\text{e}) = 2{,}72

Definições

Pressão: 1\ \text{atm} = 760\ \text{Torr} = 1{,}01325 \times 10^5\ \text{N}\ \text{m}^{-2} = 1{,}01325\ \text{bar}

Energia: 1\ \text{J} = 1\ \text{N}\ \text{m} = 1\ \text{kg}\ \text{m}^2\ \text{s}^{-2} = 6{,}24 \times 10^{18}\ \text{eV}

Condições normais de temperatura e pressão (CNTP): 0\ ^\circ\text{C} e 1\ \text{atm}, equivalente a um volume de um gás ideal de 22{,}4\ \text{L}.

Condições ambientes: 25\ ^\circ\text{C} e 1\ \text{atm}

Condições padrão: 1\ \text{bar}; concentração das soluções = 1\ \text{mol}\ \text{L}^{-1} (rigorosamente: atividade unitária das espécies); sólido com estrutura cristalina mais estável nas condições de pressão e temperatura em questão.

(s) = sólido. (\ell) = líquido. (g) = gás. (aq) = aquoso. (conc) = concentrado. (ua) = unidades arbitrárias.

u.m.a. = unidade de massa atômica. [X] = concentração da espécie química X em \text{mol}\ \text{L}^{-1}

\ln \text{X} = 2{,}3 \log \text{X}

Massas Molares

Elemento Químico	Número Atômico	Massa Molar (\text{g}\ \text{mol}^{-1})	Elemento Químico	Número Atômico	Massa Molar (\text{g}\ \text{mol}^{-1})
H	1	1,01	S	16	32,06
Li	3	6,94	Cl	17	35,45
C	6	12,01	Ca	20	40,08
N	7	14,01	Cu	29	63,55
O	8	16,00	Zn	30	65,38
Na	11	22,99	Br	35	79,90
Mg	12	24,31	Os	76	190,23
Al	13	26,98	Sg	106	269

Suponha que, em medições experimentais realizadas no espaço sideral, foi descoberto um sistema formado de gás hidrogênio atômico excitado. A energia desse hidrogênio excitado é igual a -0{,}34\ \text{meV}, fazendo com que o sistema emita um espectro de ondas eletromagnéticas de forma aparentemente contínua. Considere o modelo do átomo proposto por Bohr para descrever esse sistema. Considere, ainda, que a energia do átomo de hidrogênio no estado fundamental é -13{,}6\ \text{eV} e que o raio do átomo de hidrogênio no estado fundamental é igual a 53\ \text{pm}.

Acerca desse sistema, determine o que se pede a seguir.

a) Qual é o nível de energia no qual os átomos de hidrogênio excitados se encontram?

b) Qual é o raio da órbita do elétron ao redor do próton nesses átomos de hidrogênio?

c) Qual é a razão entre a velocidade do elétron do átomo de hidrogênio no estado fundamental e no estado excitado?

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Resolução comentada

a) No modelo de Bohr, a energia do elétron no nível n é E_n = \dfrac{E_1}{n^2}, com E_1 = -13{,}6\ \text{eV}.

Primeiro, converta a energia do sistema para eV: -0{,}34\ \text{meV} = -3{,}4\times10^{-4}\ \text{eV}.

n^2 = \frac{E_1}{E_n} = \frac{-13{,}6}{-3{,}4\times10^{-4}} = 4{,}0\times10^{4}

n = 200

Os átomos estão no nível n = 200. Níveis tão altos ficam muito próximos em energia, e por isso o espectro emitido parece contínuo.

Resposta: n = 200.

b) No modelo de Bohr, o raio da órbita cresce com o quadrado do número quântico: r_n = n^2 r_1.

r_{200} = 4{,}0\times10^{4}\times 53\ \text{pm} = 2{,}12\times10^{6}\ \text{pm}

r_{200} = 2{,}12\times10^{-6}\ \text{m}

Resposta: r \approx 2{,}1\times10^{6}\ \text{pm} (cerca de 2{,}1\ \mu\text{m}).

c) A quantização do momento angular é m v r = n\dfrac{h}{2\pi}, ou seja, v_n = \dfrac{n h}{2\pi m r_n}.

Substituindo r_n = n^2 r_1:

v_n = \frac{h}{2\pi m r_1}\cdot\frac{1}{n} = \frac{v_1}{n}

A velocidade do elétron é inversamente proporcional a n. Logo:

\frac{v_1}{v_{200}} = n = 200

Resposta: v_{\text{fundamental}}/v_{\text{excitado}} = 200.

Assunto: Modelos atômicos.

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Questão 6 no caderno Química da 2ª fase do ITA 2023

Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Química. Prova oficial ↗