Questão 7 (Química) da 2ª fase do ITA 2023

Question

A primeira determinação experimental do tamanho de um núcleo foi feita a partir dos resultados do espalhamento de Rutherford de partículas \alpha. Os resultados evidenciaram uma dependência entre o raio nuclear (\mathrm{R}) e o número de massa (\mathrm{A}), através da relação:

\mathrm{R} = \mathrm{R}_0\mathrm{A}^{1/3},

em que \mathrm{R}_0 é uma constante.

Com base nessas informações, calcule o valor numérico:

a) da densidade nuclear para o _{29}\text{Cu}^{63}, considerando que o raio para _{30}\text{Zn}^{64} é 4{,}8 \times 10^{-15}\text{ m};

b) da razão entre os raios nucleares do isótopo de magnésio _{12}\text{Mg}^{24} e do isótopo de ósmio _{76}\text{Os}^{192};

c) da densidade nuclear para o seabórgio _{106}\text{Sg}^{271}, comparando-a com o valor da densidade nuclear do _{29}\text{Cu}^{63} obtida no item (a) acima.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Química) da 2ª fase do ITA 2023

Química · Química: Modelos atômicos

Texto-base das questões 01 a 10 · Química

As questões numéricas devem ser desenvolvidas sequencialmente até o final.

Constantes

Constante de Avogadro (\text{N}_\text{A}) = 6{,}02 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}

Constante de Faraday (\text{F}) = 9{,}65 \times 10^4\ \text{C}\ \text{mol}^{-1} = 9{,}65 \times 10^4\ \text{A}\ \text{s}\ \text{mol}^{-1} = 9{,}65 \times 10^4\ \text{J}\ \text{V}^{-1}\ \text{mol}^{-1}

Carga elementar = 1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{C}

Constante dos gases (\text{R}) = 8{,}21 \times 10^{-2}\ \text{atm}\ \text{L}\ \text{K}^{-1}\ \text{mol}^{-1} = 8{,}31\ \text{J}\ \text{K}^{-1}\ \text{mol}^{-1} = 1{,}98\ \text{cal}\ \text{K}^{-1}\ \text{mol}^{-1}

Constante de Planck (\text{h}) = 6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J}\ \text{s}

Velocidade da luz no vácuo = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m}\ \text{s}^{-1}

Número de Euler (\text{e}) = 2{,}72

Definições

Pressão: 1\ \text{atm} = 760\ \text{Torr} = 1{,}01325 \times 10^5\ \text{N}\ \text{m}^{-2} = 1{,}01325\ \text{bar}

Energia: 1\ \text{J} = 1\ \text{N}\ \text{m} = 1\ \text{kg}\ \text{m}^2\ \text{s}^{-2} = 6{,}24 \times 10^{18}\ \text{eV}

Condições normais de temperatura e pressão (CNTP): 0\ ^\circ\text{C} e 1\ \text{atm}, equivalente a um volume de um gás ideal de 22{,}4\ \text{L}.

Condições ambientes: 25\ ^\circ\text{C} e 1\ \text{atm}

Condições padrão: 1\ \text{bar}; concentração das soluções = 1\ \text{mol}\ \text{L}^{-1} (rigorosamente: atividade unitária das espécies); sólido com estrutura cristalina mais estável nas condições de pressão e temperatura em questão.

(s) = sólido. (\ell) = líquido. (g) = gás. (aq) = aquoso. (conc) = concentrado. (ua) = unidades arbitrárias.

u.m.a. = unidade de massa atômica. [X] = concentração da espécie química X em \text{mol}\ \text{L}^{-1}

\ln \text{X} = 2{,}3 \log \text{X}

Massas Molares

Elemento Químico	Número Atômico	Massa Molar (\text{g}\ \text{mol}^{-1})	Elemento Químico	Número Atômico	Massa Molar (\text{g}\ \text{mol}^{-1})
H	1	1,01	S	16	32,06
Li	3	6,94	Cl	17	35,45
C	6	12,01	Ca	20	40,08
N	7	14,01	Cu	29	63,55
O	8	16,00	Zn	30	65,38
Na	11	22,99	Br	35	79,90
Mg	12	24,31	Os	76	190,23
Al	13	26,98	Sg	106	269

A primeira determinação experimental do tamanho de um núcleo foi feita a partir dos resultados do espalhamento de Rutherford de partículas \alpha. Os resultados evidenciaram uma dependência entre o raio nuclear (\mathrm{R}) e o número de massa (\mathrm{A}), através da relação:

\mathrm{R} = \mathrm{R}_0\mathrm{A}^{1/3},

em que \mathrm{R}_0 é uma constante.

Com base nessas informações, calcule o valor numérico:

a) da densidade nuclear para o _{29}\text{Cu}^{63}, considerando que o raio para _{30}\text{Zn}^{64} é 4{,}8 \times 10^{-15}\text{ m};

b) da razão entre os raios nucleares do isótopo de magnésio _{12}\text{Mg}^{24} e do isótopo de ósmio _{76}\text{Os}^{192};

c) da densidade nuclear para o seabórgio _{106}\text{Sg}^{271}, comparando-a com o valor da densidade nuclear do _{29}\text{Cu}^{63} obtida no item (a) acima.

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Resolução comentada

a) Primeiro achamos \mathrm{R}_0 com o dado do _{30}\text{Zn}^{64}. Como 64^{1/3}=4:

\mathrm{R}_0=\frac{4{,}8\times10^{-15}}{4}=1{,}2\times10^{-15}\ \text{m}

Para o _{29}\text{Cu}^{63}, o raio é \mathrm{R}=1{,}2\times10^{-15}\cdot 63^{1/3}\approx 4{,}8\times10^{-15}\ \text{m}. Tratando o núcleo como uma esfera:

V=\frac43\pi \mathrm{R}^3=\frac43\pi \mathrm{R}_0^3\,\mathrm{A}

\frac43\pi \mathrm{R}_0^3 = 4{,}19\times1{,}73\times10^{-45}\approx7{,}24\times10^{-45}\ \text{m}^3 por nucleon.
V=7{,}24\times10^{-45}\times63\approx4{,}56\times10^{-43}\ \text{m}^3.
Massa do núcleo: m=\dfrac{63\ \text{g/mol}}{6{,}02\times10^{23}\ \text{mol}^{-1}}\approx1{,}05\times10^{-22}\ \text{g}=1{,}05\times10^{-25}\ \text{kg}.
Densidade: d=\dfrac{m}{V}=\dfrac{1{,}05\times10^{-25}}{4{,}56\times10^{-43}}\approx2{,}3\times10^{17}\ \text{kg/m}^3.

d\approx2{,}3\times10^{17}\ \text{kg/m}^3 (\approx2{,}3\times10^{14}\ \text{g/cm}^3)

b) Como \mathrm{R}=\mathrm{R}_0\mathrm{A}^{1/3}, o \mathrm{R}_0 se cancela na razão:

\frac{\mathrm{R}_{\text{Mg}}}{\mathrm{R}_{\text{Os}}}=\left(\frac{24}{192}\right)^{1/3}=\left(\frac18\right)^{1/3}=\frac12

Razão =1/2=0{,}5

c) A densidade nuclear não depende de A:

d=\frac{\mathrm{A}/\mathrm{N_A}}{\frac43\pi \mathrm{R}_0^3\,\mathrm{A}}=\frac{1}{\mathrm{N_A}\cdot\frac43\pi \mathrm{R}_0^3}

O A aparece no numerador (massa) e no denominador (volume) e se cancela. Para o _{106}\text{Sg}^{271} resulta portanto o mesmo valor do cobre: d\approx2{,}3\times10^{17}\ \text{kg/m}^3. A razão entre as densidades é d_{\text{Sg}}/d_{\text{Cu}}=1.

Isso mostra que a matéria nuclear tem densidade praticamente constante, igual para qualquer núcleo.

d_{\text{Sg}}\approx2{,}3\times10^{17}\ \text{kg/m}^3, igual à do Cu (razão =1)

Assuntos: Modelos atômicos, Estrutura do átomo, íons e isótopos.

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Questão 7 no caderno Química da 2ª fase do ITA 2023

Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Química. Prova oficial ↗